博弈论 SG函数 SG定理

本来这篇博客叫《博弈论入门》，但写完后发现好像没东西了……

SG函数

一个公平游戏（impartial game)可以抽象为：在一个DAG上有一枚棋子，两人轮流移动它，不能移动者输。
SG函数的定义如下。没有出度的点的SG值为0，其它点的SG值为它的后继的SG值的mex。即$SG(u)=mex\{SG(v)\},u\rightarrow v$。
在SG值为0的点上，先手必败，而在其它点上先手必胜。

数据规模较大时，一般来说，可以通过打表找到SG函数的通项。
其它时候可以递推求。求mex用Trie树上的跳法。

SG定理

在多个DAG上进行上述游戏操作，每次可以移动一个DAG上的棋子。设当前状态为每个DAG上棋子所在位置的集合$\{p_1,p_2,...\}$，则$SG(\{p_1,p_2,...\})=SG(p_1)\oplus SG(p_2)\oplus ...$。

Tartan定理

描述组合游戏在多个维度上的合并。

Nim和在01状态且决策互相影响游戏上的特殊性

给定一个棋盘，每个格子有黑白两个状态。每次操作只能针对黑色格子，会对某些格子取反。由于Nim和的性质，可以证明一个格子的SG值是它所影响的格子的游戏的合并。即无需考虑是否会统计到白色格子。

无向图删边游戏

给定一个无向图，有一中心点，两人轮流操作，每次可切断一条中心点所在联通块内的一条边，先不能操作者输。
Fusion Principle定理说明：在无向图删边游戏中，将一个环上的所有边变为环上的一个点上的相同数量的自环后，图的SG值不变。

picture from Game Theory, Qin Yue, Tsinghua Univ.
缩点后做树形删边游戏即可。

SJ定理

反公平游戏（Anti-SG Game）描述为：DAG上没有出度的点为胜利状态，其它定义与一般游戏相同。现在的问题是解决多个反公平游戏的合并。
SJ定理说明：先手必胜，当且仅当以下两个条件同时成立或同时不成立：
1.合并的SG值为0；
2.所有游戏的SG值不超过1。

其它经典模型

有向图公平游戏

在有向图上进行经典游戏。

先算出可计算的SG函数，最后不能计算的点是平局点。

欧几里得的游戏

给定$a、b$，每次对一个数删去另一个数的若干倍，有一个数为0时失败。

若$a\ge 2b$，则先手必胜。否则递归处理。

擦数游戏

有数1~n，每次选一个数划去它的所有约数，没有数则失败。

先手必胜。

階梯博弈

以0为地面，1~n为逐渐升高的台阶，每个台阶上有若干石子。每人每次将一个台阶上的若干石子移到比它低的台阶。

当且仅当所有奇数台阶上的式子异或和不为0时，先手必胜。

无向点地理问题（Undirected vertex geography problem）

在一个无向二分图上进行轮流移动棋子游戏，不能经过重复的点。

广义地理（generalized geography）是一个典型的完全P空间（PSPACE-Complete）问题。
当且仅当棋子在所有最大匹配上时，先手必胜。
from LOJ536

练习题

Lasker的游戏

有n堆石子，每次可以选一堆石子中取出一些石子或分成两堆石子。没有石子则失败。

SG(i)表示i个石子的SG值，打表发现SG函数形如1，2，4，3，5，6，8，7，9，10，12，11，……。按SG定理合并即可。