jzoj4024-石子游戏【SG函数,博弈论】

正题

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大意

有n堆石头，每堆石头有$a_i$个每次可以拿走一堆或者Y个（仅当$gcd(Y,a_i)=1$）。拿走最后一堆石头的人就赢了，两个人都是聪明绝顶的。

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解题思路

考虑构建SG函数：

$$SG(x)=mex(SG(x-y)_{(gcd(x,y)=1)}\ \ \ \upsilon\ \ \ 0)$$
这样我们会发现如果x是质数，那么比他小的都在集合里，那么它的SG值就是之前最大的SG值+1，这样的话质数的SG值就是递增的。
我们再考虑合数，由于质数的SG值是递增的，我们会发现其实每个合数产生不了任何新的值，那么每个合数的SG值就是它的最小质因子的SG值。
这样的话质数的SG值就是它是第几个质数
我们用素数筛来计算。

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代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int t,n,ans,a,sg[1000001],tot;
void prime()
{
    sg[1]=1;tot=1;//第一个特判
    for (int i=2;i<=1000000;i++)
    {
        if (!sg[i])//没有被筛过
        {
          sg[i]=++tot;//统计第几个质数
          for(int j=i;j<=1000000;j+=i)
            if (!sg[j]) sg[j]=tot;//被最小的质因子筛掉
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    prime();//预处理
    while (t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ans=0;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a);//输入
            ans^=sg[a];//就SG函数的和
        }
        printf("%s\n",ans?"Alice":"Bob");//判断赢家
    }
}