51nod 1020 逆序排列 (DP)

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在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）

给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？

例如：n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2个数n，k。中间用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)

Outut

共T行，对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)

Input示例

1
4 3

Output示例

题解：

摘抄自https://blog.csdn.net/h1021456873/article/details/50351716

设dp(n,k)表示n个数的排列中逆序数为k的排列数。

最大的数n可能会排在第n-i位，从而产生i个与n有关的逆序对，去掉n之后，剩下的n-1个数的排列有k-i个逆序对。所以，f(n,k)=求和f(n-1，k-i)(0 <= i < n)。

同理有f(n,k-1)=求和f(n-1，k-1-i)(0 <= i < n)。

两式相减，可得f(n,k)-f(n,k-1) = f(n-1,k)-f(n-1,k-n)。

得到递推公式为 f(n,k) = f(n,k-1)+f(n-1,k)-f(n-1,k-n)。

然后动态规划可得。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MOD = 1e9+7;

int dp[1005][20005];

void pre_work(){
	dp[1][0] = 1;
	for(int i=2 ; i<=1000 ; ++i){
		dp[i][0] = 1;
		for(int j=1 ; j<=(i*(i-1))/2 && j<=20000 ; ++j){
			dp[i][j] = (dp[i][j-1] + dp[i-1][j])%MOD;
			if(j >= i)dp[i][j] = ((dp[i][j] - dp[i-1][j-i])%MOD + MOD)%MOD;//注意这里相减会有负数 
		}
	}
}

int main(){
	
	pre_work();
	int T,n,k;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d %d",&n,&k);
		printf("%d\n",dp[n][k]);
	}
	
	return 0;
}

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