51nod 1250 排列与交换 dp

版权声明：虽然是个蒟蒻但是转载还是要说一声的哟 https://blog.csdn.net/jpwang8/article/details/82777987

#Description

一个数组A = [1, 2, 3, …, n]。

对A进行好恰好k次相邻交换，能得到多少个不同的序列 (S1)？
对A进行最多k次交换，你能得到多少个不同的序列 (S2)？

一次相邻交换是指交换数组A中两个相邻位置的元素，即：交换A[i]和A[i+1]或者A[i]和A[i-1]。
一次交换是指交换数组A中的任意两个位置不同的元素，即：交换A[i]和A[j]，1 <= i, j <= N, i != j。

给出数组A的长度N，以及次数K，求S1和S2。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

输入2个数N, K，中间用空格分隔，(1 <= N, K <= 3000)
输出2个数S1, S2 Mod 1000000007的结果，中间用空格分隔。

#Solution

首先第一问非常好写。考虑dp，设f[i,j]表示前i位交换j次，然后我们枚举第i位向前交换多少位即可，这个上前缀和优化可以n^2
考虑第二问。我们发现根据置换群的角度看，一个排列构成了许多不相交的环。那么我们加入一个数可以独立一个环，也可以插入任意一个环。这个就是第一类斯特林数，n^2推一下就可以了

#Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

const int MOD=1000000007;
const int N=3005;

int f[N][N],g[N][N];

int main(void) {
	int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
	f[0][0]=1;
	rep(i,1,n) {
		rep(j,0,m) {
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if (j-i>=0&&j) f[i][j]=(f[i-1][j]-f[i-1][j-i]+MOD)%MOD;
		}
		rep(j,1,m) f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j-1])%MOD;
	}
	int ans=0;
	rep(i,0,m) if ((i&1)==(m&1)) {
		ans=(ans+f[n][i])%MOD;
	}
	printf("%d ", ans);
	f[0][0]=1;
	rep(i,1,n) {
		f[i][0]=f[i-1][0];
		rep(j,1,m) {
			f[i][j]=(f[i-1][j]+1LL*(i-1LL)*f[i-1][j-1]%MOD)%MOD;
		}
	}
	ans=0;
	rep(i,0,m) ans=(ans+f[n][i])%MOD;
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}