JZOJ-senior-5879. 【NOIP2018提高组模拟9.22】电路图 B

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Description

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Input

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Output

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Sample Input

5
2 4 1 5 3
7
2 2 4
3 1 3 2
2 2 4
1 2 4
4 2 3 6
1 2 4
2 2 4

Sample Output

1.0000000
3.0
6
5.0000
2.0000000000000

Data Constraint

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Hint

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Solution

30%：纯暴力
50%~70%：线段树
100%：神奇的线段树

根据初中物理知识，我们知道：
串联一个电阻 $R=R1+R2$
并联一个电阻 $R=\frac{R1*R2}{R1+R2}$
小结论：一个较大的电阻串联或并联一个电阻，它还是较大的
也就是说对于3,4操作的那一段序列来讲，被操作的区间里的电阻的相对大小不变

通过观察，我们发现一个新的电阻可以用原电阻经过加法与乘法运算得到
于是大佬们想到了用一次函数除以一次函数的形式来表示这个电阻
（像我这种完全没想过可以这样表示的就只能乖乖打暴力了。。。）

首先，我们考虑如何表示两种操作
我们将电阻表示为 $R=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的形式，设原电阻为 $X$
那么操作3（串联一个电阻）就相当于一个 $(1,R,0,1)$ 的操作
原因：将四元组代入可得 $\frac{1*X+R}{0*X+1}$ ，可得新电阻为 $X+R$
同理操作4（并联一个电阻）就相当于一个 $(R,0,1,R)$ 的操作
原因：将四元组代入可得 $\frac{R*X+0}{1*X+R}$ ，可得新电阻为 $\frac{RX}{X+R}$
至此，每次的串或并联电阻可以成功被表示

下一步，我们考虑如何合并标记
设树上某一节点的原标记为 $(a,b,c,d)$ ，设原电阻为 $x$
那么当前节点经过操作后的电阻应该是这样的 $t=\frac{ax+b}{cx+d}$
而它现在要与另一个标记 $(a',b',c',d')$ 合并
那么合并后的电阻就是 $\frac{a't+b'}{c't+d'}$ ，将t的表达式代入，
经化简，可得新电阻为 $\frac{(a'a+b'c)x+(a'b+b'd)}{(c'a+d'c)x+(c'b+d'd)}$
对比一下，我们就得到新的四元组啦 $(a'a+b'c,a'b+b'd,c'a+d'c,c'b+d'd)$
至此，我们成功合并了标记

最后，就是注意精度一下问题惹

Code

#include<algorithm>
#include<cstdio>

#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ldb long double
#define db double
#define L x<<1
#define R L|1

using namespace std;

const int N=25e4+5;
const ldb MX=1e9,MN=0;
int n,m,opt,opl,opr,opx,e[N];
ldb ans;

struct tree
{
	ldb a,b,c,d,mx,mn;
}tr[4*N];

void clear(int x)//初始化，可不是全都是0哦~
{
	tr[x].a=tr[x].d=1,tr[x].b=tr[x].c=0;
}

void mix(tree &p,tree q)//合并标记
{
	p.mx=(q.a*p.mx+q.b)/(q.c*p.mx+q.d);
	p.mn=(q.a*p.mn+q.b)/(q.c*p.mn+q.d);
	ldb a=q.a*p.a+q.b*p.c,b=q.a*p.b+q.b*p.d;
	ldb c=q.c*p.a+q.d*p.c,d=q.c*p.b+q.d*p.d;
	p=(tree){1,b/a,c/a,d/a,p.mx,p.mn};//据说不这么打会爆，反正我没尝试过
}

void down(int x)//下传标记
{
	mix(tr[L],tr[x]);
	mix(tr[R],tr[x]);
	clear(x);
}

void update(int x)//更新最大最小电阻值
{
	tr[x].mn=min(tr[L].mn,tr[R].mn);
	tr[x].mx=max(tr[L].mx,tr[R].mx);
}

void build(int x,int l,int r)//建树
{
	clear(x);
	if(l==r)
	{
		tr[x].mx=tr[x].mn=e[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(L,l,mid);
	build(R,mid+1,r);
	update(x);
}

ldb get(ldb v)//计算并联的情况
{
	return v*opx/(v+opx);
}

void calc(int x,int l,int r)//由于我懒，所以四个操作就打在一起啦
{
	if(l^r) down(x);
	if(opl<=l&&opr>=r)
	{
		if(opt==1) ans=max(ans,tr[x].mx);
		if(opt==2) ans=min(ans,tr[x].mn);
		if(opt==3) tr[x]=(tree){1,opx,0,1,tr[x].mx+opx,tr[x].mn+opx};
		if(opt==4) tr[x]=(tree){opx,0,1,opx,get(tr[x].mx),get(tr[x].mn)};
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(opl<=mid) calc(L,l,mid);
	if(opr>mid) calc(R,mid+1,r);
	if(opt>=3) update(x);
}

int main()
{
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	fo(i,1,n) scanf("%d",&e[i]);
	build(1,1,n);
	scanf("%d",&m);
	fo(i,1,m)
	{
		scanf("%d%d%d",&opt,&opl,&opr);
		if(opt<=2)
		{
			if(opt==1) ans=MN; else ans=MX;
			calc(1,1,n);
			printf("%.10lf\n",(db)ans);
			//输出时要转回double,否则输出就全是0了;好像也可以将字母l大写
		}
		else scanf("%d",&opx),calc(1,1,n);
	}
}