2018.12.22【NOIP提高组】模拟B组 JZOJ 2700 数字

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大意

求
$A=x\times d(x)[A\in[L..R]]$

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的个数，其中
$d(x)=x[x<10]$
$d(x)=d(s(x))[x\geq 10]$
$s(x)$为 $x$各数位之和

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思路

直接把洛谷的题解扣过来

首先我们可以想到暴力，由于 $D(x)$最终的落点只有 $1~9$，所以我们可以移项得到 $d(x)=d(a/d(x))$的时候， $x$就是一个满足要求的数

于是乎我们得到了下面这个30分的代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;long long f[1000001],L,R;
int t,s[1000001]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
inline char Getchar()
{
    static char buf[100000],*p1=buf+100000,*pend=buf+100000;
    if(p1==pend)
	{
        p1=buf; pend=buf+fread(buf,1,100000,stdin);
        if (pend==p1) return -1;
    }
    return *p1++;
}
inline long long read()
{
	char c;int d=1;long long f=0;
	while(c=Getchar(),!isdigit(c))if(c==45)d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
	while(c=Getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
	return d*f;
}
inline void write(register long long x)
{
	if(x<0)write(45),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
	return;
}
inline int S(long long x)//暴力算S
{
	if(s[x]) return s[x];
	return s[x]=x%10+S(x/10);
}
inline int D(long long x)//求D
{
	if(x<10) return x;
	return D(S(x));
}
inline bool check(long long x)
{
	for(register int i=1;i<=9;i++)
	if(x%i==0&&D(x/i)==i) return true;//枚举了d(i)后就只需要判断D(x/i)是否合法即可
	return false;
}
signed main()
{
	for(register int i=1;i<=1000000;i++) f[i]=f[i-1]+check(i);//前缀和预处理
	t=read();
	while(t--)
	{
		L=read();R=read();
		write(f[R]-f[L-1]);putchar(10);//输出
	}
}

满分的方法1：首先你得打一个表，然后你发现如果 $x$满足要求则 $x+22680$也满足要求，为什么呢？因为 $22680=lcm(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

于是乎，我们只需预处理到22680就可以了，之后的按循环节处理

听大佬说，其实 $d(x)=(x-1)\ mod\ 9+1$具体证明我不会，但是打个表就能发现了嘛，对咯！

方法2： $gcd+$容斥瞎搞，本蒟蒻不会啊。。。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;long long f[22681],L,R,maxn;
int t;
inline char Getchar()
{
    static char buf[100000],*p1=buf+100000,*pend=buf+100000;
    if(p1==pend)
	{
        p1=buf; pend=buf+fread(buf,1,100000,stdin);
        if (pend==p1) return -1;
    }
    return *p1++;
}
inline long long read()
{
	char c;int d=1;long long f=0;
	while(c=Getchar(),!isdigit(c))if(c==45)d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
	while(c=Getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
	return d*f;
}
inline void write(register long long x)
{
	if(x<0)write(45),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
	return;
}
inline int D(long long x){return (x-1)%9+1;}//打了表之后发现的。。。
inline bool check(long long x)
{
	for(register int i=1;i<=9;i++)
	if(x%i==0&&D(x/i)==i) return true;
	return false;
}
inline long long ask(long long x)
{
	return x/22680*f[22680]+f[x%22680];//循环节处理
}
signed main()
{
	for(register int i=1;i<=22680;i++) f[i]=f[i-1]+check(i);
	t=read();
	while(t--)
	{
		L=read();R=read();
		write(ask(R)-ask(L-1));putchar(10);
	}
}