JZOJ-senior-5878. 【NOIP2018提高组模拟9.22】电路图 A

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Description

nodgd 要画一个电路图。
这是一个很简单的电路图，所有的元件都是串联关系，从整体来看就是一个环状的结构。画电路图有很多要求，nodgd 为了画得好看就又添加了一些
额外的要求。所有要求归结起来有以下几点：
1、这个环状电路上有n个双端电路元件（即每个电路元件有两个连接导线的接头），其中只有一个直流电源；为了本题方便，其他n − 1个元件都是一模一样的电阻。
2、电流在电路图中每经过一个元件，就必须拐一个90°的弯；没有经过元件时不允许拐弯。参考下图。
在这里插入图片描述
3、从电路图整体上观察，电流沿顺时针方向流动，且电路不能自交。参考下图。

4、如果一个符合题意的电路图，可以通过整体旋转一定的角度，再适当调整图中导线的长度，得到另外一个符合题意的电路图，则这两个电路图是相同的。参考下图。
在这里插入图片描述
5、如果电路环路的内部存在一个点，使得它可以“看到”电路环路内部的所有位置，就认为这个图是美观的，反之是不美观的。相同的电路图不一定都美观。参考下图。

那么问题来了，nodgd 想知道有多少种不同的电路图，以及有多少种不同的美观电路图。由于两个问题的答案都可能很大，请mod 1,000,000,007输出结果。

Input

输入文件 A.in
输入文件第一行包含一个正整数n，表示包含电源在内的电路元件的总数量。

Output

输出文件 A.out。
输出文件第一行包含一个整数，表示不同的电路图数量mod 1,000,000,007的结果。第二行包含一个整数，表示不同的美观电路图数量mod 1,000,000,007的结果。

Sample Input

【样例1】
6
【样例2&3】见下发文件

Sample Output

【样例1】
6
6

Data Constraint

对于 10%的数据，n = 12；
对于 30%的数据，n ≤ 24；
对于 60%的数据，n ≤ 5000；
对于 100%的数据，4 ≤ n ≤ 10^7，且n是个偶数。

Hint

【输入输出样例 1 说明】
可以有如下几种电路图，电路图数量是 6，所以输出文件第一行输出一个整数 6；容易发现，这 6 个电路图都是美观的电路图，所以第二行也输出一个整数 6。
在这里插入图片描述

Solution

看这很不友善的 $N$ ，就知道是个结论题啦

第一问：
题目中说每经过一个元件就必须拐一次弯，而由于电路图是闭合的
不难发现右拐次数一定为左拐次数+4
所以 $Ans1$ 就是 $C^{n/2-2}_{n}$

第二问：
题目中要求的美观实际上就是要求形成的电路图为凸多边形
观察可知，不能连续两次逆时针拐弯，否则就不美观了
于是我们以最外围的四条边为分界，将路径分成四段，手动画一画可以发现每段的拐弯数均为奇数
（最外围的四条边顾名思义就是最上最下最左和最右四条边，最左边的边就是以那条边为分界，所有边都在它的右半边，其他三条边同理）
那么问题转化为将一个偶数 $N$ 拆分成 $4$ 个奇数的方案数

我们先考虑将 $N$ 拆成 4 个偶数怎么做
将 $N/2-1$ 个偶数排在一起形成一个序列，保证了每个偶数>0且<N
在它们之中选 $3$ 个出来，这 $3$ 个数相当于挡板，将序列分成了四个部分
假定选出来的 $3$ 个数分别为 $a,b,c(a<b<c)$ ，然后我们将间隔作为选择的偶数
那么这四个正偶数分别为 $a,b-a,c-b,N-c$
于是我们就可以得出方案数为 $C^3_{N/2-1}$

回到这题，要将 $N$ 分成 $4$ 个正奇数
分成奇数，就相当于分成偶数后将每个偶数-1
于是我们类比上面的做法
我们将这四个奇数分别都加上1 ，则和为 $N+4$
于是方案数为 $C^3_{(N+4)/2-1}$ ，即 $C^3_{N/2+1}$

由于电源放任意位置都可以，所以要乘上 $N$
又因为整体旋转后相同的电路图都是一样的，所以还要除以4

最终， $Ans2=C^3_{N/2+1}*N/4$

Code

#include<algorithm>
#include<cstdio>

#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ll long long

using namespace std;

const int N=1e7+5,P=1e9+7;
int n,jc[N],ny[N];

int ksm(int x,int y)
{
	int s=1;
	for(;y;x=(ll)x*x%P,y>>=1)
		if(y&1) s=(ll)s*x%P;
	return s;
}

ll C(int n,int m)
{
	return (ll)jc[n]*(ll)ny[m]%P*(ll)ny[n-m]%P;
}

int main()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	jc[0]=1;
	fo(i,1,n) jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%P;
	ny[n]=ksm(jc[n],P-2);
	fd(i,n-1,0) ny[i]=(ll)ny[i+1]*(i+1)%P;
	ll a1=C(n,n/2-2);
	ll a2=C(n/2+1,3)*n%P*ksm(4,P-2)%P;
	printf("%lld\n%lld",a1,a2);
}