对所有的非负整数\(k\)和\(n\)定义的二项式系数\(\binom{n}{k}\)
如果\(k > n\)，则\(\binom{n}{k} = 0\)
对所有的\(n\)，\(\binom{n}{0} = 1\)
如果\(n\)是是一个正整数，且\(1 \le k \le b\)，则\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!} = \frac{n (n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k (k - 1) \cdots 1}\)
有以下一些性质成立
\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} \tag{1}\)
显然
Pascal公式
\(\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k} + \binom{n - 1}{k - 1} \tag{2}\)
根据定义或组合意义可证
\(\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n \tag{3}\)