排列组合、古典概型、几何概型与伯努利概型

排列组合

(1)排列组合公式
从 $m$ 个人中挑出 $n$ 个人进行排列的可能数： $P_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}$ 从 $m$ 个人中挑出 $n$ 个人进行组合的可能数： $C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}$

(2)加法原理(两种方法均能完成此事)： $m+n$

(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成此事)： $m \times n$

古典概型

定义：若随机试验满足如下条件：
(1)有限性：试验的样本空间 $\Omega$ 只有有限个样本点，即 $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}$ (2)等可能性：试验中的样本点的发生是等可能的，即 $P(\{\omega_1\})=P(\{\omega_2\})=...=P(\{\omega_n\})$ 则该随机试验为古典试验。

由定义可知，对于古典概型，有： $1 = P(\Omega) = nP(\{\omega_i\})$
古典概型的概率：
设古典概型的随机试验的样本空间 $\Omega = \{\omega_1, \omega_2,...,\omega_n\}$ ，事件 $A$ 中含有 $k(k \leq n)$ 个样本点，则称 $\frac{k}{n}$ 为 $A$ 发生的概论，记为： $P(A) = \frac{k}{n} = \frac{A中含有的样本点数}{总样本点数}$ 这样的概率叫做古典概型。

几何概型

定义：若随机试验满足如下条件：
(1)可度量性：样本空间 $\Omega$ 是一个几何区域，这个区域的大小可以度量(如线段长度、平面面积、立体体积)，并把 $\Omega$ 的度量记为 $\mu(\Omega)$
(2)等可能性：向区域 $\Omega$ 内任意投掷一个点，落在区域内任意等度量处都是等可能的。
则该随机试验为几何概型。

几何概型的概率：
若以 $A$ 表示"在区域 $\Omega$ 中随机地取一点，而该点落在区域 $A$ 中"这一事件，则事件 $A$ 的概率计算公式为： $P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)} = \frac{A的几何度量}{区域整体的几何度量}$ 这样的概率叫做几何概型。

伯努利概型

定义：若随机试验满足如下条件：
(1)在随机试验中，只有两个基本事件 $A$ 与 $\overline A$
则该随机试验为伯努利试验。

伯努力概型的概率：
在一次试验中，的出现 $A$ 概率为 $p$ ，则出现 $\overline A$ 的概率为 $1-p$ ，记为： $P(A)=p$ $P(\overline A) = 1-p$ 这样的概率叫做伯努利概型。

$n$ 重伯努利试验：
把伯努利试验独立重复(单独进行且概率不变)地进行 $n$ 次，各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其他各次试验的结果，这样的试验称为 $n$ 重伯努利试验。

n重伯努利试验的概率：
在 $n$ 重伯努利试验中，若事件 $A$ 在一次试验中发生的概率为 $p$ ，设 $P(A)=p，P(\overline A) = 1-p$ ，则在这 $n$ 次试验中事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为： $P_n(k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},k=1,2,...,n$