概率论学习三、古典概型

本文学习资源来自《概率论基本（李贤平）》

一、 模型与计算公式

在讨论一般随机现象之前，我们先讨论一类最简单的随机现象：
1. 在试验中它的全部可能结果只有有限个，譬如为$n$个，记为$E_1,E_2, \cdots ,E_n$，而且这些事件是两两互不相容的；
2. 事件$E_1,E_2, \cdots ,E_n$的发生或出现是等可能的，即它们发生的概率都一样。

这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。
古典概型是有限样本空间的一种特例。可以选$\Omega={E_1,E_2, \cdots ,E_n}$作为样本空间，而且此时应有：

$$P(E_1)=P(E_2)= \cdots =P(E_n)=\frac 1 n$$

对于任何事件$A$，它总可以表示为样本点之和，例如$A=E_{i_1}+E_{i_2}+ \cdots +E_{i_m}$，因此由事件概率的定义：

$$P(A)=P(E_{i_1})+P(E_{i_2})+ \cdots +P(E_{i_m}) = \frac 1 n + \frac 1 n + \cdots + \frac 1 n = \frac m n$$

所以在古典概型中，事件$A$的概率是一个分数，其分母是样本点的总数$n$，而分子是事件$A$中所包含的样本点个数$m$，由于$E_{i_1},E_{i_2}, \cdots ,E_{i_m}$的出现必导致$A$的出现，即它们的出现对$A$的出现“有利”，因此习惯上常称$E_{i_1},E_{i_2}, \cdots ,E_{i_m}$ 是$A$的“有利场合”，这样：

$P(A)=\frac m n = \frac {A的有利场合的数目} {样本点总数}$

法国数学家拉普拉斯（Laplace）在1812年把上式作为概率的一般定义。现在通常称它为概率的古典定义，因为它只适用于古典概型场合。
古典概型有着多方面应用，产品抽样检查就是其中之一。

例如： 有一个口袋，内装$a$只黑球，$b$只白球，它们除颜色不同外，外形完全一样（以后若非特别声明，均作此假定）。这样一来，当我们从袋子中任意找出一球时，这$a+b$只球中的任意一只被摸到的可能性都一样。

若把黑球作为废品、白球作为好品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样。假如产品分为更多等级，例如一等品、二等品，三等品，等外品等等，则可用装有多种颜色的球的口袋的摸球模型来描述。

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这种模型化的方法能使问题更清楚，更容易看出其随机性本质而不致被个别情况下的具体属性所蒙蔽。不仅如此，这种抽象化的模型带有普遍性，它还可以描述许多别的具体问题，从而有着多方面应用。例如种水稻地块的调查，某种疾病的抽查等都能用这个模型。

事件上，古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述。以后我们经常研究摸球模型，意义即在于此。

二、 基本的组合分析公式

1. 全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：

乘法原理 ： 若进行$A_1$过程有$n_1$种方法，进行$A_2$过程有$n_2$种方法，则进行$A_1$过程后再接着进行$A_2$过程共有$n_1 * n_2$种方法。

加法原理 ： 若进行$A_1$过程有$n_1$种方法，进行$A_2$过程有$n_2$种方法，假定$A_1$过程与$A_2$过程是并行的，则进行过程$A_1$或过程$A_2$的方法共有$n_1+n+2$种。

2. 排列：

从包含有$n$个元素的总体中取出$r$个来进行排列，这时既要考虑到取出的元素也要顾及其取出顺序。

这种排列可分为两类：第一种是有放回的选取，这时每次选取都是在全体元素中进行，同一元素可被重复选中；另一种是不放回选取，这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去，因此每个元素至多被选中一次，在后一种情况，必有$r \le n$。
（1） 在有放回选取中，从$n$个元素中取出$r$个元素进行排列，这种排列称为有重复的排列，其总数共有$n^r$种。
（2） 在不放回选取中，从$n$个元素中取出$r$个元素进行排列，其总数为：

$$A_n^r = n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)$$
这种排列称为 选排列。特别当 $r=n$时，称为 全排列。
（3） $n$个元素的全排列数为
$$P_n=n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1=n!$$

3. 组合：

（1）从$n$个元素中取出$r$个元素而不考虑其顺序，称为组合，其总数为：

$$C_n^r=\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} =\frac {A_n^r} {r!} =\frac {n(n-1) \cdots (n-r+1)} {r!} =\frac {n!}{r!(n-r)!}$$
这里 $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$是二项展开式的系数， $(a+b)^n=\sum_{r=0}^n \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} a^rb^{n-r}$
（2）若 $r_1+r_2 + \cdots + r_k=n$，把 $n$个不同的元素分成 $k$个部分，第一部分 $r_1$个，第二部分 $r_2$个，……第 $k$部分 $r_k$个，则不同的分法有：
$$\frac {n!} {r_1!r_2!\cdots r_k!}$$
种，上式中的数称为多项系数，因为它是 $x_1+x_2+ \cdots + x_k)^n$展开式中 $x_1^{r_1}x_2^{r_2}\cdots x_k^{r_k}$的系数，当 $k=2$时，即为组合数。
（3） 若 $n$个元素中有 $n_1$个带足标“1”， $n_2$个带足标“2”，…… $n_k$个带足标 $"k"$，且 $n_1+n_2+\cdots + n_k=n$，从这 $n$个元素中取出 $r$个，使得带有足标 $“i"$的元素有 $r_i$个（ $1\le i\le k$），而 $r_1+r_2+\cdots + r_k=r$，这时不同取法的总数为：

$$\begin{pmatrix} n_1 \\ r_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_2 \\ r_2 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} n_k \\ r_k \end{pmatrix}$$
这里当然要求 $r_i \le n_i$
（4）从 $n$个元素中有重复地取 $r$个，不计顺序，则不同的取法有：
$$\begin{pmatrix} {n+r-1} \\ r \end{pmatrix}$$
种，这个数称为有重复组合数。

4. 常用等式

$$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}^2 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}^2 + \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}$$

三、 概率直接计算的例子

[例1]

一部四册的文集按任意次序放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成1，2，3，4的顺序的概率是多少？
[解] 若以$a,b,c,d$分别表示自左向右排列的书的册号，则上述文集旋转的方式可与向量$(a,b,c,d)$建立一一对应，因为$a,b,c,d$取值于$1,2,3,4$，因此这种向量的总数相当于4个元素的全排列数$4!=24$，由于文集按”任意的“次序放到书架上去，因此这24种排列中出现任意一种的可能性都相同，这是古典概型概率，其有利场合有2种，即自左向右或自右向左成1,2,3,4顺序，因此所求概率为$\frac 2 {24}=\frac 1 {12}$

[例2]

有10个电阻，其电阻值分别为$1 \Omega,2 \Omega, \cdots , 10\Omega$，从中取出三个，要求取出的三个电阻，一个小于$5 \Omega$，一个等于$5 \Omega$，另一个大于$5 \Omega$，问取一次就能达到要求的概率。
[解] 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体，这是古典概型，其总数为$\begin{pmatrix} {10} \\3 \end{pmatrix}$，有利场合为$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$，故所求概率为：

$$p = \frac { \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} } = \frac 1 6$$