5. 等可能概型(古典概型)

等可能概型(古典概型)

定义：若实验满足：

• 样本空间 S 种样本点有限（有限性）
• 出现每一个样本点的概率相等（等可能性）

称这种试验为等可能概型（或古典概型）

$P(A) = \frac{A所包含的样本点数}{S中的样本点数}$

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例 1： 一袋中有5个球，其中3个为白球，2个为蓝球，设取到每一球的可能性相等.

（1）从袋中随机取一球,记A={ 取到白球 },求P(A)．

（2）从袋中不放回取两球,记B={两个都是白球},求
P(B)．

先说明下抽样方法：

不放回抽样： 第 1 次取出一个球，记录其颜色，不再放回，第 2 次从剩余的球中取出一球；

放回抽样： 第 1 次取出一个球，记录其颜色，放回，第 2 次依然从全部的球中取出一球．

解： 将球编号，白球为 1，2，3，蓝球为 4，5.

（1） $S = \{1,2,3,4,5\}, A = \{1,2,3\}\implies P(A) = \frac{3}{5}$

（2） $S = \{(1,2),(1,3),...(5,3),(5,4)\},$

$B=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\}.$

$S$ 所包含的样本点数是 5x4
$A$ 所包含的样本点数是 3x2

$P(B) = \frac{3\times 2}{5\times 4} = \frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} = 0.3$

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一般地，如果有 $N$ 个球，其中 $a$ 个白球， $b = N - a$ 个蓝球采用不放回抽样取n个球( $n\leq N$)，记 $A_k=\{恰好取到k个白球\} (k\leq a)$，则

$P(A_k) = \frac{C_{a}^{k}C_{b}^{n-k}}{C_{N}^{n}},其中 C_{N}^{n} = \tbinom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}$

$P(A_0) = \frac{C_{a}^{0}C_{b}^{n}}{C_N^{n}},P(A_1) = \frac{C_{a}^{1}C_{b}^{n-1}}{C_N^{n}},P(A_2) = \frac{C_{a}^{2}C_{b}^{n-2}}{C_N^{n}}$

$P(至少取到 2 个白球) = 1 - P(A_0) - P(A_1)$

$P(至多取到 2 个白球) = P(A_0) + P(A_1) + P(A_2)$

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例 2： 足球场内23个人(双方队员 11 人加 1 名主裁），至少有两人生日相同的概率为多大？

解： 假设每个人的生日在一年 365 天是等可能的。所以 23 人的生日共有 $365^{23}$ 种可能结果。

先考虑事件 A: “任何两人生日不同”，

要使 A 发生，共有 $365\times364\times...\times(365-22)$ 种可能。

因此， $P(A) = \frac{365\times364\times...\times(365-22)}{365^{23}} \approx 0.493$

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0.507 > 0.5$

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例 3： (抽签问题)一袋中有 a 个白球， b 个蓝球，记 a+b=n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。求第 k 次摸到白球的概率。

记 $A_k = \{第 k 次摸到白球\}, k = 1,2,...,n. 求 P(A_k).$

解 1. 将 n 个球依次编号为 :1,2,…,n,其中前 a 号是白球。

视 1，2，…，n 的每一个排列为一样本点，则每一样本点等概率。

$P(A_k) = \frac{a(a+b-1)!}{(a+b)!} = \frac{a}{a+b} 与 k 无关$

解 2. 将第 k 次摸到的球号作为一个样本点，由对称性，取到各球的概率相等。

$S = \{1,2,...,a,a+1,...,n \}$

$A_k = {1,2,...,a}$

$\implies P(A_k)=\frac{a}{n}=\frac{a}{a+b}$