hdoj1465错排公式的应用（递推）

版权声明：转载请注明出处哦~ https://blog.csdn.net/Cassie_zkq/article/details/82804157

题目解释：

某人写了n封信，还有n个信封，如果所有的信都装错了信封，求共有多少种可能的情况？ 

解题思路：错排公式

错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

公式：D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + ... + (-1)^n/n!].

或者写成其中，f(x)=x!

ac代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    long long  i,a[55];
    a[1]=0;
    a[2]=1;
    for(i=3;i<=21;i++)
        a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        cout<<a[n]<<endl;
    }
    return 0;
}