错排公式及其应用

什么是错排公式？
首先我们考虑一个问题，如果书架上有n本书，现在希望把每本书都放在不是原来的位置上，那么有几种放置的方法？
上面的问题就是错排问题。
现在，我么来解决：
首先，我们取一本位置在m位置上的书，现在m位置空出来了，现在要放在其他n-1个位置上，假设我们放在了位置k上，那么我们就把k位置上的书拿出来了，现在k位置空出来了，所以现在原本在k位置上的书要放在哪里呢，有两种选择，一种是放在原来的M位置上，还有一种是放在其他的n-2个位置的随便一个，现在我们分析这两种情况：
1：放在m位置上，那就相当于m位置上的书和K位置上的书交换了位置，所以接下来剩余的n-2本书就又回到了初始的状态，对这n-2本书进行错排；
结合开始的n-1中情况，所以这种情况种数为(n-1)*dp[n-2].
2：不放在m位置上，那就相当于原本这本书要放在M位置上，现在不放了，并且其他的n-2本书也不放在原来的位置上，那么现在就有n-1本书不能放在原来的位置上，所以这种情况就是dp[n-1],结合开始的情况，就是(n-1)*dp[n-1].

总：结合前面的两种情况，那么总的情况就有：(n-1)*(dp[n-2] + dp[n-1]).

这里有一道例题供大家参考
转眼毕业了，曾经朝夕相处的同学们不得不都各奔东西，大家都去了不同的城市开始新的生活。在各自城市居住了一段时间后，他们都感到了一些厌倦，想去看看其他人的生活究竟如何，于是他们都选择到另一个同学所在城市去旅游，并且希望旅游的城市各不相同，他们想知道有多少种不同的方案，可是数量实在太多了，他们无法计算出来，你能帮助他们吗。

输入格式
一个正整数 n(n\le 20)n(n≤20)，表示人数。

输出格式
一个数，表示有多少不同的方案。

输出时每行末尾的多余空格，不影响答案正确性

样例输入复制
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样例输出复制
2

这其实也就是进行错排操作，代码如下：

//@author:hairu,wu
//@from:ahut
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main(){
	int n;
	cin >> n;
	ll dp[100];
	dp[0]=0;
	dp[1]=0;
	dp[2]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++){
		dp[i]=(i-1)*(dp[i-2]+dp[i-1]);
	}
	cout<<dp[n]<<endl;
	return 0;
}