bzoj 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(莫队算法)

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

HINT

Source

思路：

用传说中的莫队算法来解决这道题。

莫队算法其实是一种暴力的算法，但是它暴力的很巧妙。它用了离线处理和分块的方法解决问题。

莫队算法能解决很多看起来很棘手的问题，但是使用它时要满足这样的条件:

1.允许离线处理

2.知道[L,R]区间的答案，能O(1)的知道[L,R+1],[L+1,R]，[L-1,R],[L,R-1]这些区间的答案。

这样最后时间复杂度为O(n*sqrt(n))。

分析这道题，在一个区间内答案应该是 $\frac{\sum_{i=1}^{m}C_{col[i]}^{2}}{C_{n}^{2}}$ 。

因为 $i*(i-1)->i^2-i$

转化一下可以变成 $\frac{\sum_{i=1}^{m}sum[col[i]]^2-n}{n*(n-1)}$

而每一次L和R进行转移的时候，因为答案是累加的 $sum^2$ 所以要先把这个减去，然后再加上更改后的 $(sum+1)^2$ 或者 $(sum-1)^2$

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e4+5;
typedef long long ll;
int col[maxn];
ll sum[maxn];
int pos[maxn];
ll ans;
struct res
{
    ll a,b;
}p[maxn];
struct node
{
    int l,r,id;
}q[maxn];
ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}
ll cal(ll x)
{
    return x*x;
}
bool cmp(node a,node b)
{
    if(pos[a.l]==pos[b.l])
        return a.r<b.r;
    return pos[a.l]<pos[b.l];
}
void add(int x,int c)
{
    ans-=cal(sum[col[x]]);
    sum[col[x]]+=c;
    ans+=cal(sum[col[x]]);
}
int main()
{
    int n,m;
    ll a,b;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int sz=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&col[i]);
        pos[i]=i/sz;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+1+m,cmp);
    int l=1,r=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        while(l<q[i].l) add(l,-1),l++;
        while(l>q[i].l) add(l-1,1),l--;
        while(r<q[i].r) add(r+1,1),r++;
        while(r>q[i].r) add(r,-1),r--;
        if(q[i].l==q[i].r)//防止com为0
        {
            p[q[i].id].a=0;
            p[q[i].id].b=1;
            continue;
        }
        a=ans-(q[i].r-q[i].l+1);
        b=(ll)(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);
        ll com=gcd(a,b);
        a/=com,b/=com;
        p[q[i].id].a=a,p[q[i].id].b=b;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        printf("%lld/%lld\n",p[i].a,p[i].b);
    return 0;
}