BZOJ 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose) 普通莫队

title

BZOJ 2038
LUOGU 1494
Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

Source

版权所有者：莫涛

analysis

作为普通莫队入坑题，好像有必要讲一下什么是莫队啊。

在我的理解下，莫队的思想可以用八个字来概括：询问排序，指针乱跳。

询问排序指的是：莫队算法主要是用于离线解决通常不带修改只有查询的一类区间问题~~就是分块~~。然后以询问左端点所在的分块的序号为第一关键字，右端点的大小为第二关键字进行排序，按照排序好的顺序计算，复杂度就会大大降低。

指针乱跳指的是：莫队算法需要加两个指针 $L$ 和 $R$ ，为什么这么做呢？
解释：
假设我们已知前一个询问的区间为 $[l_{i-1},r_{i-1}]$ ，现在要求的区间是 $[l_{i},r_{i}]$ ，那么我们就通过这两个指针乱跳，把多出来的地方删掉，少的地方加上去，得出所求区间就好了~~说的什么模糊~~。

复杂度证明什么的，额，上参考资料：《全网最详细、最深的四类莫队算法讲解》。

针对这道题，还有个答案的式子需要推一下：
对于 $[L,R]$ 的询问。

设其中颜色为 $x,y,z$ 的袜子的个数为 $a,b,c$ 。

那么答案即为
$(a*(a-1)/2+b*(b-1)/2+c*(c-1)/2....)/((R-L+1)*(R-L)/2)$
化简得： $(a^2+b^2+c^2+...x^2-(a+b+c+d+.....))/((R-L+1)*(R-L))$
即： $(a^2+b^2+c^2+...x^2-(R-L+1))/((R-L+1)*(R-L))$
那么我们需要解决的问题就变成了求一个区间内每种颜色数目的平方和。

这就可以用上面所说的莫队了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e4+10;

char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1, ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}

template<typename T>inline void write(T x)
{
    if (!x) { putchar('0'); return ; }
    if (x<0) putchar('-'), x=-x;
    T num=0, ch[20];
    while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
    while (num) putchar(ch[num--]);
}

struct Orz
{
    int l,r,id;
    ll p,q;
}t[maxn];
int belong[maxn];
inline bool cmp1(Orz a,Orz b)
{
    return belong[a.l]^belong[b.l]?a.l<b.l:(belong[a.l]&1?a.r<b.r:a.r>b.r);
}

inline bool cmp2(Orz a,Orz b)
{
    return a.id<b.id;
}

inline ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

ll ans,num[maxn];
inline void add(int x)
{
    ans+=(num[x]<<1|1),++num[x];
}

inline void rem(int x)
{
    ans+=1-(num[x]<<1),--num[x];
}

int c[maxn];
int main()
{
    int n,m;
    read(n);read(m);
    int block=sqrt(n);
    for (int i=1; i<=n; ++i) read(c[i]),belong[i]=(i-1)/block+1;
    for (int i=1; i<=m; ++i) read(t[i].l),read(t[i].r),t[i].id=i;
    sort(t+1,t+m+1,cmp1);

    int l=1,r=0;
    for (int i=1; i<=m; ++i)
    {
        if (t[i].l==t[i].r)
        {
            t[i].p=0,t[i].q=1;
            continue;
        }
        while (l<t[i].l) rem(c[l++]);
        while (l>t[i].l) add(c[--l]);
        while (r<t[i].r) add(c[++r]);
        while (r>t[i].r) rem(c[r--]);
        t[i].p=ans-(r-l+1);
        t[i].q=1ll*(r-l+1)*(r-l);
        int d=gcd(t[i].p,t[i].q);
        t[i].p/=d;
        t[i].q/=d;
    }
    sort(t+1,t+m+1,cmp2);
    for (int i=1; i<=m; ++i) write(t[i].p),putchar('/'),write(t[i].q),puts("");
    return 0;
}