51Nod-1009 数字1的数量【数位DP＋记忆化搜索】

1009 数字1的数量 

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1的个数。

例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。

Input

输入N(1 <= N <= 10^9)

Output

输出包含1的个数

Input示例

12

Output示例

5

问题链接：51Nod-1009 数字1的数量

问题分析：

  这是一个数位DP问题，用记忆化搜索实现。

扫描二维码关注公众号，回复： 3079893 查看本文章

程序说明：（无）

题记：（略）

参考链接：HDU2089 不要62【数位DP＋记忆化搜索】

AC的C++语言程序如下：

/* 51Nod-1009 数字1的数量 */

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 10;  // 位数，int类型不超过10位
int digits[N + 1];
LL dp[N][N];  // dp[i][d]-共i位，其中1的个数为d数的数量

/*
 * 参数：
 * pos - 数位位置，即当前处理数的第几位，从高位开始
 * cnt - 1的个数
 * limit - 是否为数位上界（最大数字）
 */
int dfs(int pos, int cnt, bool limit)
{
    if(pos == -1)   // 递归边界，已经枚举结束，则返回1的数量
        return cnt;
    if(!limit && dp[pos][cnt] != -1)  // 已经搜索过的不再搜索，直接使用之前的计算结果
        return dp[pos][cnt];

    // 计数
    int ans = 0;
    int maxd = limit ? digits[pos] : 9;  // 枚举数字，如果数字不同则枚举0-9
    for(int i = 0; i <= maxd; i++) {
        if(i == 1)
            ans += dfs(pos - 1, cnt + 1, limit && i == digits[pos]);
        else
            ans += dfs(pos - 1, cnt, limit && i == digits[pos]);
    }
    if(!limit)
        dp[pos][cnt] = ans;

    return ans;
}

// 计算[0,n]中各个数的1的数量之和
int solve(int n)
{
    int len = 0;
    while(n) {
        digits[len++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    return dfs(len - 1, 0, 1);
}

int main()
{
    memset(dp, -1, sizeof(dp));

    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
        printf("%d\n", solve(n));

    return 0;
}