1级算法题就这样了,前途渺茫啊。。。
给我们一个数字n,求从1到n中所有数字里1的数量;这里给的分类是数位dp,那我们先用dp[i][j]来表示从1到第i位为j的数字1的数量,
例如dp[3][2]就表示从1到299的数字1的数量,那怎么推呢?
假设现在是dp[3][1],也就是从1到199,这个数字更特殊一点点,那么我们可以把它表示为两个部分,1到99和100到199,
现在1到99很简单,就是dp[2][9]就是了,那100到199呢?其实我们可以把它的百位数分离,因为它的百位一定是1,
那么就一定有10^2个1,那就变成了10^2+(1到99之间数字1的数量)。
再来一个例子dp[3][2],现在是1到299了,我们可以把它变成(1到199)+(200到299),1到199就是dp[3][1],
而200到299,因为2不是1,那么200到299等价于1到99.
于是我们可以得出一个大致的结论:
dp[3][1]= dp[3][0] + dp[2][9] +(1==1)*pow(10,3-1);
dp[3][2]= dp[3][1] + dp[2][9] +(2==1)*pow(10,3-1);
dp[i][j]= dp[i][j-1] + dp[i-1][9] +(i==1)*pow(10,i-1);
但是j==0时,j-1等于0,那么我们可以改进一下:
if(j==0)
dp[i][j]=dp[i-1][9]; dp[3][0]等价于dp[2][9]
else
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][9]+(i==1)*pow(10,i-1);
终于把这个东西推完了,但是我们怎么表示一个任意的n呢?
比如说n=435,好,现在我们要求1到435之间的1的数量,435可以分为,(1到399)+(400到435)。
而400到435又可以把4分离,如果4==1(额,我是说如果这个百位上的数字为1),好吧这不可能,那就是(1到399)+(1到35)了,然后35又持续这个过程。。。,但是当n=135时,就是(1到99)+(1到35)+(35+1),最后这个(35+1)是因为百位为1,那么就要加上百位上的1,即(100到135)百位上的1有(35+1)个。直接看代码,我表达不行。
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; #define ll long long ll dp[15][15],ss[15],n,m; int main() { cin>>n; memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=9;i++) dp[1][i]=1; for(int i=2;i<=10;i++) { for(int j=0;j<=9;j++) { if(j==0) dp[i][j]=dp[i-1][9]; else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][9]+pow((j==1)*10,i-1);//先推出 } } int digit[15]; int len=0; ll m=n; while(n) { digit[++len]=n%10;//把每一位上的数字存下来 n/=10; } for(int i=len;i>=1;i--) { ll s=pow(10,i-1);//例如1435,把435,35 ,5都存下来 ss[i]=m%s; } ll ans=0; for(int i=len;i>=1;i--) { if(i>1) ans+=dp[i][digit[i]-1]; else ans+=dp[i][digit[i]]; if(digit[i]==1&&i>1)//判断这一位是不是1, { ans+=ss[i]+1; } } cout<<ans<<endl; return 0; }