浅谈 LCA 最近公共祖先 Tarjan(离线)算法 ʕ •ᴥ•ʔ

首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：

　　　　在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。他本身或者其父亲节点也可以作为祖先节点。

举个栗子吧，如下图所示４和５的最近公共祖先是２，５和３的最近公共祖先是１，２和１的最近公共祖先是１。

这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？

　　　　通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为O(n*q)，很明显，n和q一般不会很小。如：https://blog.csdn.net/henucm/article/details/82500028

　　　　常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增。后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间，小弟能力有限没看懂。

　　　　这篇博客主要是介绍一下Tarjan算法。就是在一次遍历中把所有询问一次性解决所以其时间复杂度是O(n+q)。

　　　　Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解。

下面是基本思路!!!

　　　　　　1.任选一个点为根节点，从根节点开始。

　　　　　　2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。

　　　　　　3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。

　　　　　　4.合并v到u上。

　　　　　　5.寻找与当前点u有询问关系的点v。

　　　　　　6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。

遍历的话需要用到dfs来遍历，然后利用并查集来合并两个节点。

还是有点迷？？ don't worry ! 客官你要的伪代码来啦~~

void Tarjan(u)// marge和find为并查集合并函数和查找函数 
{
	vis[u]=1;
	for each(u,v) //访问所有u的子节点 
	{
		if(!vis[i])// 如果这个子节点没有被访问 
		{
			Tarjan(v);//继续往下遍历 
			link(u,v);// 合并v到u上 
		}
	}
	for each(u,e) //访问所有和u有访问关系的e 
	{
		if(vis[i])//如果e被访问过
		{  
			u.lca=v.lac=find(e) //u,e的最近公共祖先为find(e)
		}
	}
}

模拟一边给大家看 建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟！！

假设我们有一组数据 9个节点 8条边联通情况如下：

　　　　1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下图所示的树

　　　　设我们要查找最近公共祖先的点为9--8，4--6，7--5，5--3；

　　　设f[]数组为并查集的父亲节点数组，初始化f[i]=i，vis[]数组为是否访问过的数组，初始为0;　