最近公共祖先（LCA）【倍增算法】

题目链接：洛谷-P3379

## **题目描述**：

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。
在这里插入图片描述

思路

这是一个裸的LCA问题，即求书上两个节点的最近公共祖先。
我们可以用树上倍增来做；

当然，在做之前我们假设不知道该算法。那么我们如何来做这种类型的题目呢？
显然，我们可以用暴力来做，找到两点的最近公共祖先，我们可以用前向星存双向边，然后依次存储每个点到的根的路径。然后找到最先同时出现在两条路径的公共点即可；
显然，这样是可做的。但是这样做，考虑到:
1.当书的深度非常大
2.当最坏情况树退化为一条链式
3.当询问次数非常多的时候。
以上，无论那种情况，起步都是O（N^2）的复杂度,显然，这样的做法并不够优秀，所以我们引入倍增的做法，它可以NlogN的时间复杂度完成预处理，每次询问LogN的时间给出回答；

倍增算法：所谓倍增，就是按2的倍数来增大，也就是跳 1,2,4,8,16,32 …… 不过在这我们不是按从小到大跳，而是从大向小跳，即按……32,16,8,4,2,1来跳，如果大的跳不过去，再把它调小。这是因为从小开始跳，可能会出现“悔棋”的现象。拿 5为例，从小向大跳，5≠1+2+4,所以我们还要回溯一步，然后才能得出5=1+4；而从大向小跳，直接可以得出5=4+1。这也可以拿二进制为例，5(101)，从高位向低位填很简单，如果填了这位之后比原数大了，那我就不填，这个过程是很好操作的。

lca的倍增做法就是用一个fa[i][j]数组来存储 i 节点的 2^j 倍父亲是哪个节点；这样做每次都是2倍区间查询，所以可以在logN的时间给出答案；

我们先跑一遍dfs，初始化深度 d数组，初始化 fa[i][0] 。跑一遍dfs后，d数组存储的就是每个节点的深度（默认根节点深度为1）. fa数组存储的就是 fa[i][0] 就是每个节点存储的都是他父亲节点的编号；

跑完dfs，我们需要对全局fa进行赋值；这里用到的转移方程是
fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1] 。
比如(画的比较丑)
在这里插入图片描述
2节点的 fa[2][0] 为 1 。就是 2节点的 (2^0 = 1)的父亲为 1
4节点的fa[4][0]为 2。就是 4号节点的父亲为 2

要求 fa4 我们可以表示为 fa[fa[4][0]][0]，就是4号父亲的父亲，这样递推上去，就可以的出每个fa；

完成这步之后，我们剩下就是求Lca了；

先把x节点和y节点挪到同一层，挪到同一层后，若 x == y 代表一开始 x 就是y的祖先或者y是x的祖先；

若 x != y，则我们找到最深的满足 fa[x][i] != fa[y][i] ；
然后返回x的父亲节点即可。
至此，我们的算法就结束了；

lca倍增学习：很明白的lca教程

易错点

1.建树用前向星建，注意边数为n-1条，双向边，则应该开辟MAX_N * 2空间
2.此题输入输出量很大，用scanf和printf输入输出；
3.这题好像卡常数的样子？初始化head和深度d的时候用循环初始化，memset会超时！

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAX_N 500050

int head[MAX_N], cnt = 0, d[MAX_N], fa[MAX_N][30];

struct Node{
    int to, next;
}edge[MAX_N * 2];

void add(int x, int y)
{
    edge[cnt].to = y;
    edge[cnt].next = head[x];
    head[x] = cnt++;
}

void dfs(int v)
{
    for(int i = head[v]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        int k = edge[i].to;
        if(d[k] == 0)
        {
            d[k] = d[v] + 1;
            fa[k][0] = v;
            dfs(k);
        }
    }
}

int lca(int x, int y)
{
    if(d[x] < d[y])
    {
        swap(x, y);
    }
    for(int i = 20; i>=0; i--)
    {
        if(d[fa[x][i]] >= d[y])
            x = fa[x][i];
    }
    if(x == y)
        return x;
    for(int i = 20; i >= 0; i--)
    {
        if(fa[x][i] != fa[y][i])
        {
            x = fa[x][i];
            y = fa[y][i];
        }
    }
    return fa[x][0];
}

int main()
{
    int n, m, r;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &r);
    for(int i = 1; i<=n; i++)
    {
        head[i] = -1;
        d[i] = 0;
    }
    for(int i = 0; i<n-1; i++)
    {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    fa[r][0] = 0, d[r] = 1;
    dfs(r);
    for(int i = 1; i<=20; i++)
    {
        for(int j = 1; j<=n; j++)
        {
            fa[j][i] = fa[fa[j][i-1]][i-1];
        }
    }
    while(m--)
    {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        printf("%d\n", lca(x, y));
    }
    return 0;
}