一、入门介绍
首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：
在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。
换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。
所以LCA主要是用来处理 当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。
有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？
答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，你的父亲也是你的祖先，而LCA还可以将自己视为祖先节点。
举个例子吧，如下图所示
４和５的最近公共祖先是２，2 和 4 的最近公共祖先是2
５和３的最近公共祖先是１，２和１的最近公共祖先是１。 
这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？
二、解法：
1、
通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为O(n*q)，很明显，n和q一般 不会很小。
常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增
后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间，我个人认为较难理解。
有的题目是可以用线段树来做的，但是其代码量很大，时间复杂度也偏高，在O(n)~O(nlogn)之间，优点在于也是简单 粗暴。
这篇博客主要是要介绍一下 Tarjan算法 （ 离线的）
什么是Tarjan(离线)算法呢？顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是O(n+q)。
Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解。
2、Tarjan算法 思路：
1.任选一个点为根节点，从根节点开始。
2.遍历该点u 所有 子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。// 先遍历完所有的子节点
3.若是 v 还有子节点，返回2，否则下一步。
4.合并 v 到u上 —— father[ v ] = u
5.寻找与当前点u有询问关系的点v。
6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为 v被合并到的父亲节点 a= find（v)
遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...)，至于合并，最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。
3、模拟
假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下：
1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下图所示的树
设我们要查找最近公共祖先的点为9--8，4--6，7--5，5--3；
设f[]数组为并查集的父亲节点数组，初始化f[i]=i，vis[]数组为是否访问过的数组，初始为0; 
下面开始模拟过程：
取1为根节点，往下搜索发现有两个儿子2和3；
先搜2，发现2有两个儿子4和5，先搜索4，发现4没有子节点，则寻找与其有关系的点；
发现6与4有关系，但是vis[6]=0，即6还没被搜过，所以不操作；
发现没有和4有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[4]=1；
表示4已经被搜完，更新 f[4]=2 （ 一定要更新其父亲节点），继续搜5，
发现5有两个儿子7和8 （ 不去判断 5,而是判断其 子节点）
先搜7，发现7有一个子节点9，搜索9，发现没有子节点，寻找与其有关系的点；
发现8和9有关系，但是 vis[8]=0,即8没被搜到过，所以不操作；
发现没有和9有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[9]=1；
表示9已经被搜完，更新f[9]=7 ，发现 7没有没被搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；
发现5和7有关系，但是 vis[5]=0，所以不操作；（只是从5 经过，但是没有判断 5,所以 5 还是未被访问的）
发现没有和7有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[7]=1；
表示7已经被搜完，更新f[7]=5，继续搜8 （ 8是字节点），发现8没有子节点，则寻找与其有关系的点；
发现9与8有关系，此时vis[9]=1，则他们的最近公共祖先为find(9)=5；
(find(9)的顺序为 f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5 ;)
发现没有与8有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[8]=1；
表示8已经被搜完，更新f[8]=5，发现5没有没搜过的子节点了，寻找与 5 其有关系的点；
发现7和5有关系，此时vis[7]=1，所以他们的最近公共祖先为 find(7)=5；
(find(7)的顺序为 f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
又发现5和3有关系，但是vis[3]=0，所以不操作，此时5的子节点全部搜完了；
返回此前一次搜索，更新vis[5]=1，表示5已经被搜完，更新f[5]=2；
发现2没有未被搜完的子节点，寻找与其有关系的点；
又发现没有和2有关系的点，则此前一次搜索，更新vis[2]=1；
表示2已经被搜完，更新f[2]=1，继续搜3 （右子树的子节点），发现3有一个子节点6；
搜索6，发现6没有子节点，则寻找与6有关系的点，发现4和6有关系；
此时vis[4]=1，所以它们的最近公共祖先为find(4)=1;
(find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)
发现没有与6有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[6]=1，表示6已经被搜完了；
更新f[6]=3，发现3没有没被搜过的子节点了，则寻找与3有关系的点；
发现5和3有关系，此时vis[5]=1，则它们的最近公共祖先为find(5)=1；
(find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)
发现没有和3有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[3]=1；
更新f[3]=1，发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点，此时可以退出整个dfs了。
经过这次dfs我们得出了所有的答案，有没有觉得很神奇呢？是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢？
三、CODE
1、链式前向星写法：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#define eps 1e-8
#define memset(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int MAXL(1e6);
const int INF(0x7f7f7f7f);
const int mod(1e9+7);
int dir[4][2]= {{-1,0},{1,0},{0,1},{0,-1}};
struct node
{
int to;
int next;
}edge[MAXL+50];
int head[MAXL+50];
int father[MAXL+50];
bool vis[MAXL+50];
bool is_root[MAXL+50];
int n;
int cnt;
int cx,cy;
int ans;
int root;
int Find(int x) // 找 父亲节点
{
if(x!=father[x])
father[x]=Find(father[x]);
return father[x];
}
void Join(int x,int y) // 连接上一级
{
int fx=Find(x),fy=Find(y);
if(fx!=fy)
father[fy]=fx;
}
void add_edge(int x,int y) // 添边
{
edge[cnt].to=y;
edge[cnt].next=head[x];
head[x]=cnt++;
}
void init() //初始化
{
cnt=0;
memset(head,-1);
memset(vis,false);
memset(is_root,true);
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<=n;i++) // 一开始的时候父亲节点 是自己
father[i]=i;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add_edge(x,y);
is_root[y]=false; // 找根节点
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(is_root[i]==true) // 根节点入度 为 0
root=i;
}
void LCA(int u) // 链式前向星 —— 递归
{
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
LCA(v);
Join(u,v);
vis[v]=true;
}
if(cx==u&&vis[cy]==true) // 如果找到目标点，并且与他有关系的点已经被访问了，那么就可以去求他们的共同祖先了
ans=Find(cy);
if(cy==u&&vis[cx]==true)
ans=Find(cx);
}
void solve()
{
scanf("%d%d",&cx,&cy);
LCA(root);
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
init();
solve();
cout<<ans<<endl;
}
}
2、vector 模拟邻接表
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#define eps 1e-8
#define memset(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int MAXL(1e4);
const int INF(0x7f7f7f7f);
const int mod(1e9+7);
int dir[4][2]= {{-1,0},{1,0},{0,1},{0,-1}};
int father[MAXL+50];
bool is_root[MAXL+50];
bool vis[MAXL+50];
vector<int>v[MAXL+50];
int root;
int cx,cy;
int ans;
int Find(int x)
{
if(x!=father[x])
father[x]=Find(father[x]);
return father[x];
}
void Join(int x,int y)
{
int fx=Find(x),fy=Find(y);
if(fx!=fy)
father[fy]=fx;
}
void LCA(int u)
{
for(int i=0; i<v[u].size(); i++) // vector 邻接表
{
int child=v[u][i]; // 与 u 有连接的边
if(!vis[child])
{
LCA(child);
Join(u,child);
vis[child]=true;
}
}
if(u==cx&&vis[cy]==true)
ans=Find(cy);
if(u==cy&&vis[cx]==true)
ans=Find(cx);
}
void init() // 初始化
{
memset(is_root,true);
memset(vis,false);
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=0; i<=n; i++)
v[i].clear();
for(int i=1; i<=n; i++)
father[i]=i;
for(int i=1; i<n; i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
v[x].push_back(y);// 添元素
is_root[y]=false;
}
scanf("%d%d",&cx,&cy);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(is_root[i]==true)
{
root=i;
break;
}
}
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
init();
LCA(root);
cout<<ans<<endl;
}
}