LCA 最近公共祖先 （倍增算法）

LCA 最近公共祖先 （倍增算法）

首先了解一下我们 最近公共祖先
E和G的LCA为A
L和J的LCA为D
K和F的LCA为B
然后 倍增 用到了二进制和 dp 的思想
倍增 就是 1 2 4 8 16 …任何一个数 都是可以右 这些数相加得到的。（了解一下二进制）
首先 定义：

fa[ i ] [ j ] 为 从 i 节点 向上走 2 ^ j 个节点，
depth[ i ] 为节点 i 的深度。
举个例子 fa[ k ][ 1 ]=B , fa[ i ][ 0 ]=D ;
depth[ H ]=3,depth[ A ]=1;

定义完这个 我们就可以通过 一个 dfs 把 每个节点的深度 和 每个节点向上走 1 步 都求出来
代码

void dfs(int u,int pre,int d){     //u为子节点 pre为父节点
     fa[u][0]=pre;depth[u]=d;
     for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==pre) continue;
        //dis[v]=dis[u]+e[i].w; 这里是求两节点之间距离的时候用的。（记录每一个节点 到根节点的距离）
        dfs(v,u,d+1);
     }
}

ps ：当时听学长讲的时候有点懵 不是求公共祖先吗 这个有什么用呢 到后面发现挺神奇的

接下来 我们就要想办法把 每个节点向上走 n 步 给表示出来

前面说过 1 2 4 8 16 … 这些二进制数是可以把所有的数都表示出来的 所以我们只要 把每一个节点向上走 2 ^ n 表示出来 就可以把走任意步都表示出来了。
考虑一下 我们可以发现
fa[ i ] [ j ]=fa[ fa[ i ] [ j-1 ] ][ j-1 ] 。
就是 说 如果我们要求 i 向上走 8 不步 可以由 i 先走 4 步 再 走 4 步 得到。 我们可以用 dp 实现这个步骤
代码

void init(int root){
     dfs(root, -1,1);
     for(int j=1;(1 << j )<n;j++){              
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(fa[i][j-1]<0) fa[i][j]=-1; //如果超过了根节点 让它等于 -1；
            else fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
        }
     }
}

做完这些预处理 接下来就是找最近公共祖先的步骤了

ps 四处盗图 哈哈

首先 我们让 所求的两个节点处于 同一深度 然后一起向上跳就行了

至于怎么跳 就比较关键了
最简单的方法 就是一个点一个点的跳直到 到达相同的节点（这样肯定会超时的。。。。。。。）

所以换一种思路 就是 这种方法的核心了

像 上图的 15 16 这两个节点 处于同一深度
我们要想办法 让他们 跳到 最近公共祖先的下面一个节点

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采取 这样的 策略 从 2 ^ k到 2^0 步进行枚举

1. 如果 他们跳了 2^k 步之后 到达了 同一个节点 说明 我们到达了 最近公共祖先 或者 以上的节点 不符合我们的要求 (不跳)。
2. 过程中如果 碰到跳完后到达了不同的节点 例如 2^0 我们就让他跳 （可以去找个大一点的树模拟一下）
   最后 我们会神奇的发现 他们 来到了 6 和 10 这两个节点
   所以 最近公共祖先就为 fa[ 6 ][0 ];

是不是很神奇 （我学的时候感觉挺神奇的）

代码：

int lca(int u,int v){
    if(depth[u]<depth[v]) swap(u,v);
    int k=depth[u]-depth[v];
    for(int i=0;(1<<i)<=k;i++){
        if((k>>i)&1) u=fa[u][i];  //这里是 判断K的 第i 个二进制位是否为 1 是的话 就跳
    }
    if(u==v) return u;
    for(int i=log(n*1.0)/log(2.0);i>=0;i--){
        if(fa[u][i]!=fa[v][i]){
            u=fa[u][i];
            v=fa[v][i];
        }
    }
    return fa[u][0];
}

来个 题目
凛冬将至 （CSUST 2019年集训队选拔赛）
Description

维斯特洛大陆的原住民是森林之子，他们长得如孩童一般，善于使用石器，威力值35，用树叶树枝作为衣物，在森林里繁衍生息，与万物和平相处。他们会使用古老的魔法（比如绿之视野），威力值55。后来先民从维斯特洛大陆架登陆，凭借手中的青铜兵器和战马大举入侵，威力值分别是35和55。森林之子凭借魔法顽强抵抗，并冒险利用龙晶制造出了一个神奇的强悍的物种——异鬼，威力值60。双方持久不下之时签订了和平协议，先民占据了维斯特洛大陆，森林之子只保有森林。

。。。

七大王国如火如荼兴起之时，在遥远海洋的另一端，一个神秘的家族悄然兴起——坦格利安家族。此家族拥有三条巨龙，威力值90+，经过一个世纪的备战，在领导者伊耿一世的带领下乘龙入侵维斯特洛大陆。

借助龙的力量，伊耿一世很快统一了维斯特洛的七大王国，建立了空前强大的坦格利安王朝，像所有外来入侵者一样，坦格利安家族摒弃了龙的信仰开始信仰七神，并且将龙由放养改为圈养，再加上坦格利安家族为了保持血统纯正，实行近亲婚姻，生出来的继承者精神病人越来越多，这导让坦格利安王朝开始了眼花缭乱的花样作死之旅。

。。。

众(wo)所(xia)周(che)知(de)，当凯特琳·徒利得知自己女儿艾莉亚逃到赫伦堡后，非常担心女儿的安全。假设维斯特洛大陆共有nn个城市，共有n-1n−1条双向道路把这nn个城市连接起来。也就是说这是一棵树。凯特琳想尽快临冬城赶到赫伦堡。除了已知的n-1n−1条边外，凯特琳还知道一条额外的秘密路径(也是双向的)：端点是是城市xx和城市yy，路径长度是zz。现在想考考寒假过后的你有没有刷过题，问你QQ个问题，每个问题给出临冬城(凯特琳所在城市)和赫伦堡(艾莉亚所在城市)的坐标，请你告诉凯特琳从临冬城到赫伦堡的最短路径长度是多少？

Input
第一行一个整数n(1<=n<=100000)

以下n-1行描述一颗树，每行u,v,w表示一条从u到v长为w的路径，u!=v。

下一行三个整数x,y,z 意义如题（1<= x,y<=n, x!=y）。

下一行一个整数Q(100000)

以下Q行两个数字U,V代表临冬城和赫伦堡的坐标。

1≤w,z≤1000

Output
对每次询问输出从临冬城到赫伦堡的最短路径长度。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6;
const int mod=1e9+7;
int head[maxn],num=0,depth[maxn],fa[maxn][32],n,vis[maxn],dis[maxn];
struct node{
      int to,next,w;
}e[maxn];
void add(int u,int v,int w){
     e[num].next=head[u];
     e[num].to=v;
     e[num].w=w;
     head[u]=num++;
}
void dfs(int u,int pre,int d){
     fa[u][0]=pre;depth[u]=d;
     for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==pre) continue;
        dis[v]=dis[u]+e[i].w;
        dfs(v,u,d+1);
     }
}
void init(int root){
     dfs(root, -1,1);
     for(int j=1;(1 << j )<n;j++){              //这两个循环  重要
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(fa[i][j-1]<0) fa[i][j]=-1;
            else fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
        }
     }
}
int lca(int u,int v){
    if(depth[u]<depth[v]) swap(u,v);
    int k=depth[u]-depth[v];
    for(int i=0;(1<<i)<=k;i++){
        if((k>>i)&1) u=fa[u][i];
    }
    if(u==v) return u;
    for(int i=log(n*1.0)/log(2.0);i>=0;i--){
        if(fa[u][i]!=fa[v][i]){
            u=fa[u][i];
            v=fa[v][i];
        }
    }
    return fa[u][0];
}
int d(int u,int v){
    return dis[u]+dis[v]-2*dis[lca(u,v)];
}
int main (){
    int u,v,w,root,x,y,z;
    cin>>n;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
        add(v,u,w);
        vis[v]++;
    }
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    if(vis[i]==0){
        root=i;
        break;
        }
    }
    init(root);
    int k;
    cin>>k;
    while(k--){
    int ans=1000000000;
    scanf("%d%d",&u,&v);
         ans=min(ans,d(u,v));
         ans=min(ans,d(u,x)+z+d(y,v));
         ans=min(ans,d(u,y)+z+d(x,v));
         printf ("%d\n",ans);
    }
}

u 到 v 的距离 为 dis[u]+dis[v]-2*dis[lca(u,v)];
dis[]为 到根节点的距离.
ps： 纯萌新 写的笔记 写得比较烂 欢迎指出错误