超大背包问题（折半枚举）

超大背包问题：

有n个重量和价值分别为w[i]和v[i]的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。其中，.

       这个问题是背包问题。不过这次价值和重量都可以是非常大的数值，相比之下，比较小。使用DP求解背包问题的复杂度是O(nW),因此不能用来解决这里的问题。此时我们应该利用n比较小的特点来寻找其他办法。

      挑选物品的方法总共有种，所以不能直接枚举，但是拆成两半之后再枚举的话，因为每部分只有20个所以是可行的。利用拆成两半后的两部分的价值和重量，我们能求出原先的问题吗?我们把前半部分中的选取方法对应的重量和价值总和记为w1、v1。这样在后半部分寻找总重时使v2最大的选取方法就好了。

      因此，我们要思考从枚举得到的(w2,v2)的集合中高效寻找的方法。首先，显然我们可以排除所有并且的j。这一点可以按照w2、v2的字 典序排序后简单做到。此后剩余的元素都满足,要计算的话， 只要寻找满足的最大的就可以了。这可以用二分搜索完成，剩余的元素个数为M的话，一次搜索需 要的时间。因为 所以这个算法总的复杂度是,可以在时限内解决这个问题。
 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define INF 0x3f3f3f3f

typedef long long ll;

const int maxn=45;

int n;
ll w[maxn],v[maxn];
ll W;

pair<ll,ll> ps[1<<(maxn/2)];    //(weight,value)

void solve(){
    int n2=n/2;
    for(int i=0;i< 1<<n2;i++){
        ll sw=0,sv=0;
        for(int j=0;j<n2;j++){
            if(i>>j&i){
                sw+=w[j];
                sv+=v[j];
            }
        }
        ps[i]=make_pair(sw,sv);
    }
    sort(ps,ps+(1<<n2));
    int m=1;
    for(int i=1;i< 1<<n2;i++){
        if(ps[m-1].second<ps[i].second){
            ps[m++]=ps[i];
        }
    }
    ll res=0;
    for(int i=0;i<(1<<(n-n2));i++){
        ll sw=0,sv=0;
        for(int j=0;j<n-n2;j++){
            if(i>>j&1){
                sw+=w[n2+j];
                sv+=v[n2+j];
            }
        }
        if(sw<W){
            ll tv=(lower_bound(ps,ps+m,make_pair(W-sw,(ll)INF))-1)->second;
            res=max(res,sv+tv);
        }
    }
    printf("%lld\n",res);
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%lld",&w[i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%lld",&v[i]);
    }
    scanf("%lld",&W);
    solve();
	return 0;
}
/*
input
4
2 1 3 2
3 2 4 2
5
output
7
*/