背包问题的倒序枚举与正序枚举

这可能是困扰很多人很长时间的问题吧。

先把各个变量列出来

体积为 $V$ 的背包，有 $n$ 个物品，每个物品的体积为 $w_i$ ，价值为 $v_i$ ，每个物品装一次，求最大价值

来这看的肯定都是学习过基础背包的人，如果没有可以看我另一篇博客，里面有详细解释——点这里
下面先给出二维的转移方程

$f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i])$

首先，对于二维数组的背包来说，正序和逆序是无所谓的，因为你把状态都保存了下来，而一位数组的背包是会覆盖之前的状态的

要想知道 $f[i][j]$ ，你要从 $f[i - 1][j]$ 和 $f[i - 1][j - w[i]] + v[i]$ 两个状态转移而来，这两个状态可以直接从二维数组中取出
一维数组的转移方程

$f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i])$

$f[j]$ 表示在执行 $i$ 次循环后(此时已经处理 $i$ 个物品)，前 $i$ 个物体放到容量 $j$ 的背包时的最大价值，即之前的 $f[i][j]$ 。与二维相比较，它把第一维压去了，但是二者表达的含义是相同的，只不过 $f[j]$ 一直在重复使用，所以，也会出现第 $i$ 次循环覆盖第 $i-1$ 次循环的结果。

按方程来说，其中有许多对应相等的关系，比如 $f[i - 1][j]$ 和 $f[j]$ 就是相等的，这是为什么呢？求一下这几个值就好了

前 $i-1$ 个物品放到容量 $j$ 的背包中带来的收益（ $f[i-1][j]$ ）
由于在执行第 $i$ 次循环时， $f[j]$ 存储的是前 $i$ 个物体放到容量为 $j$ 的背包时的最大价值，在求前 $i$ 个物体放到容量 $j$ 时的最大价值(即之前的 $f[i][j]$ )时，我们正在执行第 $i$ 次循环， $f[v]$ 的值还是在第 $i-1$ 次循环时存下的值，在此时取出的 $f[j ]$ 就是前 $i-1$ 个物体放到容量 $j$ 的背包时的最大价值，即 $f[i-1][j]$ 。
前 $i-1$ 件物品放到容量为 $j-w[i]$ 的背包中带来的收益（ $f[i-1][j-w[i]]+v[i]$ ）
由于在执行第 $i$ 次循环前， $f[0...V]$ 中保存的是第 $i-1$ 次循环的结果，即是前 $i-1$ 个物体分别放到容量 $0...V$ 时的最大价值，即 $f[i-1][0...V]$ ，则在执行第 $i$ 次循环前， $f$ 数组中 $j-w[i]$ 的位置存储就是我们要找的前 $i-1$ 件物品放到容量为 $j-w[i]$ 的背包中带来的收益 (即之前的 $f[i-1][j-w[i]]$ )。

具体来说，由于在执行 $j$ 时，是还没执行到 $j-w[i]$ 的，因此， $f[j-w[i]]$ 保存的还是第 $i-1$ 次循环的结果。即在执行第 $i$ 次循环且背包容量为 $j$ 时，此时的 $f[j]$ 存储的是 $f[i-1][j]$ ，此时 $f[j-w[i]]$ 存储的是 $f[i-1][j-w[i]]$ 。

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相反，如果在执行第 $i$ 次循环时，背包容量按照 $0...V$ 的顺序遍历一遍，来检测第 $i$ 件物品是否能放。此时在执行第 $i$ 次循环且背包容量为 $j$ 时，此时的 $f[j]$ 存储的是 $f[i-1][j]$ ，但是，此时 $f[j-w[i]]$ 存储的是 $f[i][j-w[i]]$ 。

因为 $j>j-w[i]$ ，所以第 $i$ 次循环中，执行背包容量为 $j$ 时，容量为 $j-w[i]$ 的背包已经计算过了，即 $f[j-w[i]]$ 中存储的是 $f[i][j-w[i]]$ 。它会从一开始就装入某个物品，只是为了价值最大，重复是肯定要存在的。即对于01背包，按照增序枚举背包容量是不对的。如下图

我们现在要求 $i=2$ 时的 $f[5]：橙色的为数组现在存储的值，这些值是$ i=1 $时(上一次循环)存入数组$ f $的。相当于$ $f[i-1][j]$
而黄色的是我们要求的值，在求 $f[5]$ 之前， $f[5]=5$ ，即 $f[i-1][5]=5$
现在要求 $i=2$ 时的 $f[5]=f[5-2]+10=5+10=15>f[i-1][5]=5$
故 $f[5]=15$ ；
要注意在求 $f[j]$ 时，它引用的 $f[j-w[i]]$ 和 $f[j]$ 都是上一次循环的结果

我们现在要求 $i=2$ 时的 $f[5]$
橙色为数组现在存储的值，这些值是 $i=2$ 时(本次循环)存入数组 $f$ 的。相当于 $f[i][j]$ 。这是由于，我们是增序遍历数组 $f$ 的，在求 $f[j]$ 时， $j$ 之前的值 $(0...v-1)$ 都已经在第 $i$ 次循环中求出。
黄色是我们要求的值，在求 $f[5]$ 之前， $f[5]=5$ ，即 $f[i-1][5]=5$
现在要求 $i=2$ 时的 $f[5]=f[5-2]+10=10+10=20>f[i-1][5]=5$ ，故 $f[5]=20$ ；
其中引用的 $f[3]$ 是 $f[i][3]$ 而不是 $f[i-1][3]$
注意一点，在求 $f[j]$ 时，它引用的 $f[j-w[i]]$ 是本次循环的结果，而 $f[j]$ 是上一次循环的结果
$In$ $other$ $words$
在检测背包容量为 $5$ 时，看物品 $2$ 是否加入
由状态转移方程可知，我们的 $f[5]$ 需要引用自己本身和 $f[3]$
由于背包容量为 $3$ 时，可以装入物品 $2$ ，且收益比之前的大，所以放入背包了。
在检测 $f[5]$ 时，肯定要加上物品 $2$ 的收益，而 $f[5]$ 在引用 $f[3]$ 时， $f[3]$ 时已经加过一次物品 $2$ ，
因此，在枚举背包容量时，物品2加入了多次。
然后我们明确三个问题

$j-w[i]<j$
状态 $f[i][j]$ 是由 $f[i-1][j]$ 和 $f[i-1][j-w[i]]$ 两个状态决定的
对于物品 $i$ ，我们在枚举背包容量时，只要背包容量能装下物品 $i$ 且收益比原来的大，就会成功放入物品 $i$

具体来说，枚举背包容量时，是以递增的顺序的话，由于 $j-w[i]<v$ ,则会先计算 $j-w[i]$ 。在背包容量为 $j-w[i]$ 时，一旦装入了物品 $i$ ，由于求 $f[j]$ 需要使用 $f[i-1][j-w[i]]$ ，而若求 $f[j]$ 时也可以装入物品 $i$ 的话，那么在背包容量为 $v$ 时，容量为 $j$ 的背包就装入可两次物品。又若 $j-w[i]$ 是由之前的状态推出，它们也成功装入物品i的话，那么容量为 $j$ 的背包就装入了多次物品 $i$ 了。
此时，在计算 $f[j]$ 时，已经把物品 $i$ 能装入的全装入容量为 $j$ 的背包了，此时装入物品 $i$ 的次数一定是最大的
所以，顺序枚举容量是完全背包问题最简捷的解决方案。

图片来源及参考博客：
https://blog.csdn.net/c_circle/article/details/78804728
背包九讲

背包问题的倒序枚举与正序枚举

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