51Nod 1022 石子归并v2 (区间DP+四边形优化)

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题意：石子归并的加强版，原本是线形，现在是环形，原本数据范围是100，现在数据范围是1000。

首先解决环形问题，常见解决环形问题的套路就是倍增序列，在原序列末尾再接上一段原序列，中间跨越两段序列的那块就达到了环形的目的。这样按线形的跑，最后枚举起点，取最大的$f[i][i+n-1]$即可。

然后就是数据范围变大的问题，原来n<=100的时候，时间复杂度$O(n^3)$的做法是完全够使的，现在加强到了1000，就要考虑一种神奇的优化——四边形不等式优化。
这里借用本部大佬的PPT来简单介绍四边形不等式优化：
先介绍两个定义：


而对于区间DP，常见的转移形式是这样的：

若这里的$w(i,j)$关于区间包含关系单调且满足四边形不等式，那么这里的$dp(i,j)$满足四边形不等式。
我们可以得到如下两个定理：

这样我们定义出了表示$dp(i,j)$最优划分点中最右的$s[i][j]$，利用$s[i][j]$的单调性我们可以得到如下优化：

利用此优化，我们枚举划分k的时候就不需要遍历$i~j$了，只需要从$s[i][j-1]$到$s[i+1][j]$循环即可，而这层循环最大跑2次。时间复杂度由此变成了$O(n^2)$。
实现起来我们需要先将$s[i][i]$赋初值为$i$，然后每次更新$f[i][j]$的同时维护$s[i][j]$，具体见代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int f[2010][2010],s[2010][2010],a[2010];
int ans=INF,n,x;
int main()
{
    memset(f,INF,sizeof(f));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        a[i]=a[i-1]+x;
        f[i][i]=0;f[i+n][i+n]=0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i+n]=a[i]+a[n];
    for(int i=1;i<=n*2;i++)
        s[i][i]=i;
    for(int l=2*n;l>=1;l--)
    {
        for(int r=l+1;r<=l+n+1;r++)
        {
            for(int k=s[l][r-1];k<=s[l+1][r];k++)
            {
                int tmp=f[l][k]+f[k+1][r]+a[r]-a[l-1];
                if(tmp<=f[l][r])
                {
                    f[l][r]=tmp;
                    s[l][r]=k;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=min(ans,f[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}