$f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j])$

现在我们有一种很牛逼的优化，可以把石子合并优化到接近O(n^2)

四边形不等式

我们先来看满足四边形不等式的条件：若 $a<b<=c<d$
如果有 $w[a][c]+w[b][d]<=w[a][d]+w[b][c]$ （交叉小于包含）（凸四边形不等式）
那么满足四边形不等式优化。

定理1：如果w满足凸四边形不等式，那么f也满足凸四边形不等式
定理2：如果f满足凸四边形不等式，我们定义 $s[i][j]$ 为 $f[i][j]$ 在状态转移时取得k为最优，那么 $s[i][j]=k$ ，此时是 $s[i][j]$ 满足决策单调性，也就是 $s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]$

首先我们先跳过定理的证明（假装我们明白了这些定理的证明咳咳咳），来看看如何通过定理来优化。

既然知道了这个定理，那我们就可以优化掉原本k的那一层循环，转化为优美的O（n^2）啦

代码：

    for(int l=3;l<=n;++l)
     for(int i=1;i<=n-l+1;++i)
      {
        int j=i+l-1;
        dp[i][j]=INF;
        for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];++k) 
         if((dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[j]-a[i-1])<dp[i][j])
          s[i][j]=k,dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[j]-a[i-1];
      }

ps：O(n)预处理出s[i][i+1]与dp[i][i+1]

简单证明

下面我们来证明几个定理。
假设我们已经证明出了 $w[a][c]+w[b][d]<=w[a][d]+w[b][c]（a<b<=c<d）$
现在我们来推导f函数也满足四边形不等式。
假设 $s[a][d]=s,s[b][c]=t$
由于对称性，我们可以假设 $s<t$ （也就是说反过来也可以）
那么我们可以得到 $s+1<t+1<c<d$
那么
$f[a][c]+f[b][d]<=f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][c]+f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][d]$
$<=f[a][s]+f[s+1][c]+f[b][t]+f[t+1][d]+w[a][d]+w[b][c]$
$<=f[a][s]+f[t+1][c]+f[b][t]+f[z+1][d]+w[a][d]+w[b][c]$ （用了数学归纳法）
$<=f[a][d]+f[b][c]$

得证。

那么我们再来证明定理2 也就是 $s[i][j]$ 满足决策单调性

设 $fk[i,j]=f[i,k]+f[k,j]，s[i,j]=d$
$mk[i+1,j]-md[i+1,j])-(mk[i,j]-md[i,j])$
$=(mk[i+1,j]+md[i,j])-(md[i+1,j]+mk[i,j])$
$=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])$
$=(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])$
∵m满足四边形不等式
∴对于 $i<i+1≤k<d$ 有 $m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]$
∴ $(mk[i+1,j]-md[i+1,j])≥(mk[i,j]-md[i,j])≥0$
∴ $s[i,j]≤s[i+1,j]$ ，同理可证 $s[i,j-1]≤s[i,j]$

证毕