来源：
因为工作中从事机器人导航相关工作，需要了解粒子滤波相关知识，现在从csdn博主（白巧克力亦唯心）的几篇博文研究一番，写一写自己的学习笔记与思路，所有思路从该博主来，贴出该博主的网址http://blog.csdn.net/heyijia0327/article/details/40899819
前言：
意思是将结合实际例程给出粒子滤波的详细推导，解释一些别人博客并不注意的关键地点。
文章框架： 从 贝叶斯估计---蒙特卡洛采样----重要性采样---SIS粒子滤波---重采样---基本粒子滤波Generic Partical Filter---SIR粒子滤波
...........................（从这个顺序介绍似乎更清楚？先看看）
一、贝叶斯滤波
假设了一个系统，知道状态方程
如：
(1)
如：
(2)
.................................//排版不好意思，公式乱乱的
意义介绍：其中x为系统状态，y为测量到的数据，f,h是状态转移函数和测量函数，v,n为过程噪声和测量噪声，噪声都是独立同分布的。
贝叶斯理论：状态估计问题 就是根据之前的一系列已经有的数据（后验知识，搜索哲学概念：先验知识与后验知识）递推计算当前状态
的可信度，可信度计算概率公式：
，这通过预测与更新递推计算。
预测过程：利用状态方程1预测状态的先验概率密度，即通过已有的先验知识进行猜测，获得p( x(k)|x(k-1) )
更新过程：利用最新的测量值对先验概率密度进行修正，得到后验概率密度，也就是对猜测进行修正。
处理问题时使用的假设：1.当前时刻状态x(k)时刻只与上一个时刻的状态x(k-1)有关（服从一阶马尔科夫模型。。。）
2.假设K时刻测量到的数据y(k)只与当前状态x(k)有关。
（思考：根据观察到的k时刻之前一系列数据给出一个k时刻预测值，然后观测一下k时刻的值，预测值和观测值根据可靠性进行修正，这怎么跟卡尔曼滤波很类似啊？？？？？？？？？）
开始递推：已知条件，k-1时刻的概率密度函数
预测：由上一时刻的概率密度得到
，即由k-1时刻的测量数据，预测下一状态x(k)出现的概率。
给出推导公式：
等式第一行到第二行时贝叶斯公式的应用，第二行到第三行是假设一，状态x(k)只由x(k-1)决定。
因为假设的x（k）由x（k-1）决定，所以成立。
是根据已有的经验猜测x（k）。
最后一行是已知的，
由系统状态方程决定，x（k）由一个通过x（k-1）计算出的常数叠加一个噪声得到。
没有噪声的话，x（k）将完全由计算得到，就没有概率分布的概念了。
更新：由得到后验概率
，这个后验概率才是有用的东西。先验概率只是预测值，现在添加了k时刻的测量值，对预测值进行了修正，这就是滤波了。修正后的后后验概率可以带入下一次的预测，就是递推了。
公式：
其中归一化常数：
等式第一行到第二行是因为测量方程知道, y(k)只与x(k)有关，也称之为似然函数，由量测方程决定。也和上面的推理一样，
, x(k)部分是常数，
也是只和量测噪声n(k)的概率分布有关，注意这个也将为SIR粒子滤波里权重的采样提供编程依据。
遗留问题：上面的推导过程中使用到积分，对于一般的非线性，非高斯系统，很难得到后验概率的解析解，为了解决这个问题，引入了蒙特卡洛采样，下面进行介绍蒙特卡洛
（概率论学的差不多快忘记了，里面有一些概念遗忘了，一些小地方不太理解。。。大致意思看了一遍有些不理解的地方大家可以去博主原文查看，稍后细看，下面介绍蒙特卡洛相关的。。。）
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一、蒙特卡洛采样
一个概率分布p（x），从中采样一系列样本（粒子？称呼不同而已：x1，x2....xn），想要获得概率分布的期望，可以通过计算样本的期望来估计，这两者应该是近似的：
计算期望的公式：
上面两个式子都是计算期望的（第一个我了解，第二个不清楚，先放一放售后研究）
蒙特卡洛采样 即使用平均值来代替积分求期望：
（这样合适吗？平均？原文似乎是说按照比例抽样计算平均。。。）
.............中间一个公式推导例子，省略掉..........
也就是说，我们采用蒙特卡洛的方式，通过抽样，来估计后验概率。
后验概率计算公式：
得到后验概率后，就是用来做图像跟踪或者滤波，现在得知道当前状态的期望值：
就是采样粒子的状态值直接进行平均求得，就是粒子滤波，从后验概率中采样很多粒子，用他们状态求平均就得到粒子滤波结果。
问题：后验概率不知道，不能从后验概率分布中采样，得引入重要性采样
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三、重要性采样
无法从目标分布中采样，就从一个已知的可以采样的分布里去采样（？？？）：
公式推导......................（可以在原博文中去看）
总之，通过蒙特卡洛的方式计算期望，，，，
最后，不再是粒子状态直接相加求平均了，而是采用加权和的形式，不同的粒子由相应的权重，权重大的粒子可信程度比较高。现在解决了不能从后验概率直接采样的问题，但是每种粒子的权重直接计算的方法，效率低下，改用以递推的方式计算权重，即所谓的序惯重要性采样（SIS），粒子滤波的原型。
权重W递推形式推导：
......................略
权重有了后进行稍微总结，就可以得到SIS Filter
四、Sequential Importance Sampling（SIS） Filter
实际的使用中，假设重要性分布满足：
假设说明了，重要性分布只与前一刻的状态x（k-1）以及测量y（k）有关
序惯重要性采样滤波伪代码：
----------------------pseudo code-----------------------------------
For i=1:N
(1)采样：；
(2)根据递推计算各个粒子的权重；
End For
粒子权值归一化。粒子有了，粒子的权重有了，就可以由(4)式,对每个粒子的状态进行加权去估计目标的状态了。
-----------------------end -----------------------------------------------
这个算法就是粒子滤波的前身了。只是在实际应用中，又发现了很多问题，如粒子权重退化的问题，因此就有了重采样( resample )，就有了基本的粒子滤波算法。还有就是重要性概率密度q()的选择问题，等等。都留到下一章 去解决。
五、重采样
SIS滤波存在的问题：
1.退化现象
描述：迭代几次后，大多数粒子权重变得极小，可以忽略，仅少数粒子权重很大，粒子方差随时间增大，状态空间有效粒子较小，随着无效粒子采样数目增加，浪费大量计算资源在对后验滤波概率计算几乎不起作用的粒子上，使得估计估算性能大大下降。
如何描述退化程度，通过有效粒子数目来衡量。一般来说，有效粒子数越小，权重方差越大，也就说权重大的和权重小的之间差距越大，权值退化越是严重，相关的衡量公式这里暂时不写：：：
解决办法，预先设定一个阈值，达到后采取措施控制。采取的措施一般两种，第一种是选择合适的重要性概率密度函数，第二种是徐惯重要性采样之后，采用重采样方法。
原文对于第一种方法没有介绍，大家自己去百度谷歌去，或者看看《粒子滤波理论》
第二种：重采样。
即将权重大的粒子复制，保持粒子数目不变。复制的数目根据粒子权重衡量，权重越大，复制得越多。
将重采样的方法放入之前的SIS算法中，就是基本粒子滤波算法：
使用重采样的方法也不一定可靠，因为靠权重大的多复制这个思路来说，粒子权重大 可能是分母小，分子也可能小，实际的后验概率可能小。粒子滤波中也有专门的方法：正则粒子滤波。
至此，整个过程基本完了。其实自己还没看清楚，后续随着理解增加会修改的。
六、Sampling Importance Resampling Filter（SIR）
SIR滤波器很容易有前面的基本粒子滤波推导出来，只要退粒子的重要性概率密度函数做出特定的选择即可。
....若干公式（看不进去了，留个位置稍后填写）
.....
伪代码的SIR滤波器：
----------------------SIR Particle Filter pseudo code-----------------------------------
- FOR i = 1:N
(1)采样粒子：
(2)计算粒子的权重：
- END FOR
- 计算粒子权重和，t=sum(w)
- 对每个粒子，用上面的权重和进行归一化,w = w/t
- 粒子有了，每个粒子权重有了，进行状态估计
- 重采样
在上面算法中，每进行一次，都必须重采样一次，这是由于权重的计算方式决定的。
分析上面算法中的采样，发现它并没有加入测量y(k)。只是凭先验知识p( x(k)|x(k-1) )进行的采样，而不是用的修正了的后验概率。所以这种算法存在效率不高和对奇异点(outliers)敏感的问题。但不管怎样，SIR确实简单易用。
七、粒子滤波的应用
这一段实践我就不放了，想看的可以去 博主 白巧克力亦唯心那里去看
虽然巧克力博主写的很好，但自己水平有限，特别是公式一多起来时理解速度就会变慢，不过现在正在看，争取之后在文后添加更多关于粒子滤波的个人理解。