莫比乌斯反演快速入门

莫比乌斯反演并没有你看到的其他博客里写的那么复杂,那么多公式,很简单的

经典例题 :

$$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}gcd(i,j)=n,即多少gcd=n$$

可以看一下这题的其他做法

假设你已经知道了莫比乌斯函数$\mu(i)$

那么莫比乌斯反演也就是两个公式
设$g(n)$为所求函数, $f(n)$为构造出来求$g(n)$的中间函数 , 有

$$if : f(n)=\sum_{x|n}g(x) \;,\;that\;g(n)=\sum_{x|n}\mu(x)f(\dfrac{n}{x})\\if : f(n)=\sum_{n|x}g(x) \;,\;that\;g(n)=\sum_{n|x}\mu(\dfrac{x}{n})f(x)$$
为了方便, 这里我们称第一个公式为 约数反演, 因为f函数的自变量为所求n的因数. 同样的, 称第二个为 倍数反演

看不懂公式不要紧, 手模一遍即可 : $\\$ 约数反演 : 构造出$f(12)=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(6)+g(12)$ $\quad\quad$有$g(12)=\mu(1)f(12)+\mu(2)f(6)+\mu(3)f(4)+\mu(4)f(3)+\mu(6)f(2)+\mu(12)f(1)$ $\\$ 倍数反演 : 构造出$f(2)=g(2)+g(4)+g(6)+g(8)+g(10)+g(12)$ $\quad\quad$有$g(2)=\mu(1)f(2)+\mu(2)f(4)+\mu(3)f(6)+\mu(4)f(8)+\mu(5)f(10)+\mu(6)f(12)$

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看到这里, 你是不是觉得你已经可以用莫比乌斯反演解决上面的例题了呢?

所求g(n), 且n为两个数的gcd, 那么很明显我们要构造的f()的自变量应该是n的倍数, 所以采用倍数反演

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$设limit为函数自变量的上限,此题中,显然limit为min(N,M)$

令$f(n)=g(n)+g(2n)+...g(kn), kn<=limit$

那么此时的f(n)的含义不是显而易见的吗?

$g(n)代表gcd为n的ij对数, g(2n)代表gcd为2n的ij对数$, 这些加起来不就相当于你从i选一个n的倍数,j选一个n的倍数吗?

那么就有$f(n)=[\dfrac{N}{n}][\dfrac{M}{n}],$也就是说, $我们已经可以O(1)求出f(n), O(log)求出g(n)也就是答案$

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接下来是$\mu(i)$的问题, 这样安排是为了让初学者快速的了解莫比乌斯反演, 而不是花时间卡在这种理论性的东西

莫比乌斯函数

$质因子分解: x=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*...p_k^{q_k}$

μ(x)的值	情况
0	存在一个q>1
1	k为偶数(包括0)
-1	k为奇数

看得出来, $\mu(x)$是一个和素数有关的积性函数, 所以是可以用素数筛O(n)预处理

int mu[N+9];
int pri[N+9>>1];int now;
bool vis[N+9];
void init(){
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    now=0;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++now]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=now&&i*pri[j]<=N;j++){
            vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];//出现新的素数 mu=-mu
            else{
                mu[i*pri[j]]=0;             //出现相同素数
                break;
            }
        }
    }
}

$\mu(x)$的性质 (拓展):
$\\$
$\sum_{d|n}\mu(d)=0 (n>1)$
$\sum_{d|n}\dfrac{\mu(d)}{d}=\dfrac{\phi(n)}{n}$

例题1

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.

倍数公式了解一下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=1e7;

int mu[N+9];
int pri[N+9>>1];int now;
bool vis[N+9];
void init(){
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    now=0;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++now]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=now&&i*pri[j]<=N;j++){
            vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];//出现新的素数 mu=-mu
            else{
                mu[i*pri[j]]=0;             //出现相同素数
                break;
            }
        }
    }
}

int main(){
    init();
    int n;scanf("%d",&n);
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=now&&pri[i]<=n;i++){
        int p=pri[i];
        for(int j=p;j<=n;j+=p){
            LL f=(LL)((double)n/j)*(LL)((double)n/j);
            ans=ans+mu[j/p]*f;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

例题2

GuGu函数 , 上面有大致题解只是求gcd=i的对数的方法变成了反演, 也是倍数反演

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=1e6;
LL mod;

int mu[N+9];
LL pri[N+9>>1];int now;
bool vis[N+9];
LL inv[N+9];
LL v[N+9];


void init(int n,int m){
    int lim=min(n,m);
    memset(vis,false,sizeof(bool)*(lim+3));
    now=0;mu[1]=1;inv[0]=inv[1]=1;v[1]=1;

    for(LL i=2;i<=lim;i++){
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        if(!vis[i]){
            pri[++now]=i;
            mu[i]=-1;
            v[i]=i*inv[i-1]%mod;
        }
        for(LL j=1;j<=now&&i*pri[j]<=lim;j++){
            vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i],v[i*pri[j]]=v[i]*v[pri[j]]%mod;//出现新的素数 mu=-mu
            else{
                mu[i*pri[j]]=0;             //出现相同素数
                v[i*pri[j]]=v[i];
                break;
            }
        }
    }
}



int main(){
    //freopen("in.in","r",stdin);
    //freopen("out.out","w",stdout);
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){

        LL n,m;scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
        init(n,m);
        LL ans=0;

        LL lim=min(n,m);
        for(LL i=1;i<=lim;i++){
            LL g=0;
            for(LL j=i;j<=lim;j+=i){
                LL f=(n/j)*(m/j);
                g=(g+mu[j/i]*f);
            }
            ans=(ans+g%mod*v[i]%mod)%mod;
        }

        printf("%lld\n",ans);
    }
    //printf("%.3fms\n",(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);


}