莫比乌斯反演入门(hdu 1659)

前置知识点:click具体一些简单的证明可以自己证明一下。
具体的各项知识以及证明待更吧。。。。

题目:click
题意:给出a,b,c,d,k,求出a<=x<=b, c<=y<=d 且gcd(x,y) = k 的(x,y)的对数。 说明了(5,7)和(7,5)是同一对。可以把a,c看作是1。

思路:
在这里插入图片描述由上述公式,先进行分析,线性筛选求莫比乌斯函数可以直接看代码,也比较好理解。
gcd(x,y)=k,那么gcd(x/k,y/k)=1,其实就是找[1,x/k]和[1,y/k]里面互质的对数,考虑到时间复杂度,只能继续化简。如果用欧拉函数的话,不能的确定x,y的范围也是不行的。

f(d):有多少对(x,y)满足gcd(x,y)=d
g(d):有多少对(x,y)满足gcd(x,y)=d的倍数。
构造完直接利用反演公式代入计算。
在这里插入图片描述g(d)我们可以知道的是:g(d)= n d m d \frac {n} {d}*\frac {m} {d} 。(n,m是范围,也就是x/k,y/k)
那么我们去计算f(1)即可获得答案。注意区间的端点是找相对小的那个(范围有大小限制,d最大就是min(b/k,d/k))以及(1,2)和(2,1)是相同的需要处理。

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<istream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define MAX_len 200005*4
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PP;
const int mod=998244353;
const int MAXlen=1e5+10;
long double eps=1e-9;
int prime[100100];
int tot=0;
int mu[100100];
bool vis[100100];
void init()
{
    tot=0;
    memset(mu,0,sizeof(mu));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    vis[0]=vis[1]=true;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXlen;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<MAXlen;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int yy=1;
    while(T--)
    {
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&c,&d,&k);
        if(!k)
        {
            printf("Case %d: 0\n",yy++);
            continue;
        }
        ll ans=0;
        b/=k;
        d/=k;
        int temp=min(d,b);
        for(int i=1;i<=temp;i++)
        {
            ans+=ll(mu[i]*ll(b/i)*ll(d/i));
        }
        ll sum=0;
        for(int i=1;i<=temp;i++)
        {
            sum+=ll(mu[i]*ll(temp/i)*ll(temp/i));
        }
        printf("Case %d: %lld\n",yy++,ans-sum/2);
    }
    return 0;
}

猜你喜欢

转载自blog.csdn.net/weixin_43958964/article/details/107136952
今日推荐