本文所用符号：
- \(D\)：所有样本，如《西瓜书》中所有的西瓜样本
- \(a\)：用来划分样本的类别属性，a有V个可取值{\(a^1,a^2 \dots , a^V\)}，如若用a表示“色泽”，则a的取值是{\(a^1=青绿,a^2=乌黑,a^3=浅白\)}，此时\(V=3\)
- \(D^v\)：用a对样本D进行划分后属于\(a^v\)的样本子集
- \(|y|\)：\(y\)属性可取个数，下文中用y表示模型最终划分的结果集，如西瓜书中的{好瓜，坏瓜}
信息增益
使用信息熵\[Ent(D)=-\sum_{k=1}^Vp_klog_2p_k\]度量样本合集纯度，\(Ent(D)\)越大，纯度越低。用a对样本分类后，信息增益
\[Gain(D,a)=Ent(D)-\sum_{v=1}^V \frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)\]越大说明使用a作为划分类别对样本划分后纯度提高越多，其中\(\sum_{v=1}^V \frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)\)表示划分后的每个子集的信息熵的加权和。 选择使信息增益最大化的划分类别如a对样本进行第一次划分后，形成v个子样本：{\(D^1,D^2 \cdots,D^v\)}，再对每个子样本用相同的方法继续划分即可，如对\(D^1\)划分：选择除a之外的类别属性b和c，分别计算\(Gain(D^1,b)\)和\(Gain(D^1,c)\)，最后选择使结果值较大的类别属性进行划分。使用信息增益法划分子集的算法叫做ID3决策树算法。
增益率
信息增益法对可取值较多的类别划分属性有所偏好，可能影响模型的泛化能力，C4.5决策树算法中使用“增益率”选择最优划分属性。增益率定义：\[gain_ratio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)}\]，其中\[IV(a)=-\sum_{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}log_2\frac{|D^v|}{|D|}\]，为什么分母是这样子？希望有时间能看下《信息论》，但是可以粗浅地看出，a的取值可能性越多，\(IV(a)\)越大（假设a只有一个取值，那么IV(a)为0；取两个值且各占一半，IV(a)为 \(-log_2\frac{1}{2}\)；取三个值且各占三分之一，IV(a)为\(-log_2\frac{1}{3}\)），正好起到调停作用。
增益率对可取值数量较小的类别属性有所偏好，实际计算中，先选出信息增益高于平均值的若干个类别属性，然后再从中选择增益率较高的属性作为分类属性
基尼指数
CART决策树算法使用基尼指数，其定义为：\[Gini(D)=\sum_{k=1}^{|y|}\sum_{k' \neq k} p_kp_{k'}=1-\sum_{k=1}^{|y|}p_k^2\]，基尼指数表示从D中随机取出两个样本其标记不一致的概率，此概率越低，说明纯度越高。
类别属性a的基尼指数定义为\[Gini_index(D,a)=\sum_{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)\]，选择基尼指数最小的属性作为划分属性。
参考：
- 《机器学习》周志华著
- 《机器学习工程师》网易云课堂出品