均值不等式四个公式

假设有一根长度为24cm的钢筋，现在对其进行截取焊接成一个长方体框架，

如何截取焊接才能保证长方体的体积最大？

下面引出均值不等式可以解决这个问题。

$a_{i}> 0,n\geq 2$

$数组a_{1},a_{2},......,a_{n} a_{i}> 0$ $A_{1}= \sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+......+a_{n}^{2}}{n}}$

$A_{2}= \frac{a_{1}+a_{2}+......+a_{n}}{n}$

$A_{3}= \sqrt[n]{a_{1}a_{2}......a_{n}}$

$A_{4}= \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+......+\frac{1}{a_{n}}}$

则有:

$A_{1}\geq A_{2}\geq A_{3}$ $\geq A_{4}$

对 $A_{2}\geq A_{3}$ 进行证明:

构建两个序列

$X_{1}= \frac{a_{1}}{A_{3}^{1}},X_{2}= \frac{a_{1}a_{2}}{A_{3}^{2}},.....,X_{n}= \frac{a_{1}a_{2}......a_{n}}{A_{3}^{n}}= 1$

$Y_{1}= \frac{1}{X_{1}},Y_{2}= \frac{1}{X_{2}},......,Y_{n}= \frac{1}{X_{n}}$

由排序不等式顺序和≥乱序和≥倒序和显然有下列不等式关系

$X_{1}Y_{n}+X_{2}Y_{1}+......+X_{n}Y_{n-1}\geq X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{2}+......+X_{n}Y_{n}$

$a_{1}+a_{2}+......+a_{n}\geq nA_{3}$

$A_{2}\geq A_{3}$

接下来利用这个关系证明

$A_{3}\geq A_{4}$

$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+......+\frac{1}{a_{n}}$

$\dpi{80} \geq n\sqrt[n]{\frac{1}{a_{1}a_{2}......a_{n}}}$

$= \frac{n}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}......a_{n}}}$

不等式两边同时取倒数

$\frac{1}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+......+\frac{1}{a_{n}}}\leq \frac{1}{\frac{n}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}......a_{n}}}}$

不等式两边同时乘以n

$\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+......+\frac{1}{a_{n}}}\leq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}......a_{n}}$

$A_{3}\geq A_{4}$

得证

接下来证明

$A_{1}\geq A_{2}$

$\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+......+a_{n}^{2}}{n}$

$= [(\frac{1}{n})^{2}+(\frac{1}{n})^{2}+......+(\frac{1}{n})^{2}](a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+......+a_{n}^{2})$

由柯西施瓦茨不等式可得

$\geq (\frac{a_{1}+a_{2}+......+a_{n}}{n})^{2}$

然后两边同时开平方可得

$A_{1}\geq A_{2}$

得证

四个均值不等式得证

$\sqrt{\frac{\sum (i=1,n) _{a_{i}}^{2}}{n}}\geq \frac{\sum (i=1,n)a_{i}}{n}\geq \sqrt[n]{\prod_{i= 1}^{n}a_{i}}\geq \frac{n}{\sum (i=1,n)\frac{1}{a_{i}}}$

等号成立条件

$a_{1}= a_{2}= ......= a_{n}$

对此可以解决上面的实际问题了

均值不等式四个公式

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