四边形不等式简析

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并不是很透彻，只是切掉了一道模板题。
[TOC]

四边形不等式

不等式
$w(i,j)$，对于$\forall a\leq b\leq c\leq d$，满足

$$w(a,c)+w(b,d)\leq w(a,d)+w(b,c)$$
那么就称它满足四边形不等式。

区间包含单调性

$w(i,j)$，对于$\forall a\leq b\leq c\leq d$，满足

$$w(b,c) \leq w(a,d)$$
那么就称它满足区间包含单调性。

各种定理

定理一

如果有DP式

$$f(i,j)=\min f(i,k)+f(k+1,j)+w(i,j) \\(f(i,i)=0)$$
如果 $w(i,j)$满足四边形不等式和区间包含单调性。
那么 $f(i,j)$也满足四边形不等式和区间包含单调性。

定理二

设满足四边形不等式的$f(i,j)$的决策点为$s(i,j)$，则

$$s(i,j-1)\leq s(i,j) \leq s(i+1,j)$$

定理三

如果$w(i,j)$满足四边形不等式，当且仅当

$$w(i,j)+w(i+1,j+1)\leq w(i+1,j)+w(i,j+1)$$

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以上就是主要的内容。
证明？上网查，或自己推，我懒得打了。（一般只要能够自己推出来就能够理解了）

模板

例题（模板）：HDU3506 Monkey Party

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
int n,nn;
int a[2001],sum[2001];
int f[2001][2001];
int s[2001][2001];
int main()
{
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for (int i=1;i<=n;++i)
            scanf("%d",&a[i]);
        memcpy(a+n+1,a+1,sizeof(int)*n);
        nn=n<<1;
        for (int i=1;i<=nn;++i)
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        memset(f,127,sizeof f);
        for (int i=1;i<=nn;++i)
            f[i][i]=0,s[i][i]=i;
    //以下注销掉的部分是没有用四边形不等式的方法
    //  for (int len=1;len<n;++len)
    //      for (int i=1;i+len<=nn;++i)
    //      {
    //          int j=i+len;
    //          for (int k=i;k<j;++k)
    //              f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
    //      }
        for (int len=1;len<n;++len)
            for (int i=1;i+len<=nn;++i)
            {
                int j=i+len;
                for (int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];++k)
                {
                    int newvalue=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    if (newvalue<f[i][j])
                    {
                        f[i][j]=newvalue;
                        s[i][j]=k;
                    }
                }
            }
        int ans=INT_MAX;
        for (int i=1;i<=n;++i)
            ans=min(ans,f[i][i+n-1]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

总结

一般情况下，四边形不等式用来优化区间DP，将时间复杂度硬生生地降一个维。（可能光是看程序看不出来，事实上，每一轮的处理，可以计算一下内部循环的次数，你将会惊奇的发现那是$O(n)$的）
有时候，四边形不等式不只是优化区间DP，这样的题还没打过，如果打过了就再补充。