一、高斯整数
形如 。（其中a，b是整数）的复数被称为高斯整数，高斯整数全体记作Z[i]。注意到若 γ=a+bi 是高斯整数，则它是满足如下方程的代数整数：
通常我们使用希腊字母来表示高斯整数，例如α，β，γ和δ。注意到若 n 是一个整数，则 n=n+0i 也是高斯整数。当我们讨论高斯整数的时候，把通常的整数称为有理整数。
加、减、乘运算
高斯整数在加、减、乘运算下是封闭的，正如下面定理所述。
定理1：设 α=x+iy 和 β=w+iz 是高斯整数，其中 x，y，w 和 z 是有理整数，则 α+β，α-β 和 αβ 都是高斯整数。
虽然高斯整数在加、减和乘运算下封闭，但是他们在除法运算下并不封闭，这一点与有理整数类似。此外，若 α=a+bi 是高斯整数，则a的范数 N(α)= 是非负有理整数。
整除性
我们可以像研究有理整数那样去研究高斯整数。整数的许多基本性质可以直接类推到高斯整数上。要讨论高斯整数的这些性质，我们需要介绍高斯整数类似于通常整数的一些概念。特别地，我们需要说明一个高斯整数整除另一个高斯整数的意义，并给出高斯素数的定义。
定义1：设 α 和 β 是高斯整数，我们称α整除β，是指存在一个高斯整数 γ 使得β=αγ。若α整除β，我们记作α|β ；若α 不整除β ，记作αβ 。
高斯整数的整除也满足有理整数整除的一些相同的性质。例如，若α，β和γ 是高斯整数，α|β，β|γ，则α|γ。再者，若α，β，γ，ν和μ 是高斯整数，γ|μ，γ|β，则γ|(μα+νβ)。
高斯素数
1, −1, i及−i都是高斯整数环里面的单位元。除此之外，在高斯整环里面不能因子分解的数称为高斯素数。高斯素数分为两类，其中一类是形式为4n+3（n是整数）的普通素数，如3，7等，它们在高斯整环里面也不能够因子分解。但是所有形式是4n+1的普通素数如5，13等，在高斯整环里面都可以唯一因子分解成两个共轭的高斯素数的乘积，如5=(2+i)(2-i)。需要注意的是，这里我们也可以写成5=(1+2i)(1-2i)，这个是因为(2-i)i=1+2i，而i是单位元，所以我们可以认为这两种分解是等价的。此外，素数2也可以分解，即2=(1+i)(1-i)。
二、费马平方和定理
费马平方和定理是指由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家莱昂哈德•欧拉提出证明后成为定理。
费马平方和定理的表述是：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。
费马二平方定理(Fermat's Two Squares Theorem)
费马二平方定理是指除了2这个特殊的素数，所有的素数都可以分两类：被4除余1的素数，如5，13，17，29，37，41；第二类则是被4除余3的素数如3，7，11，19，23，31.第一类素数都能表示为两个整数的平方和，第二类都不能。
费马二平方定理指出，当且仅当或时，素数可以表示为两个非零平方之和。 并且这种表示是唯一的。
三、拉格朗日四平方定理（Lagrange's four-square theorem）
拉格朗日的四平方定理，也称为Bachet猜想，由Diophantus陈述缺乏必要条件而推论得出。它指出，每一个正整数可以写成的总和至多四个正方形。尽管该定理由费马使用无限下降来证明，但该证明被抑制了。欧拉无法证明该定理。拉格朗日（Lagrange）于1770年给出了第一个公开的证明，并利用了欧拉四方形恒等式。
拉格朗日的四平方定理（也称为Bachet猜想）指出，每个自然数都可以表示为四个整数平方之和。 其中四个数字是整数。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。
