中值定理4----拉格朗日使用习惯

拉格朗日使用习惯

类型一：只要见到 $f(b)-f(a)$,的形式优先考虑拉格朗日定理

例题1： $若f''>0.有f'(0),f'(1).问：f(1)-f(0)大小?$

####解：
1° 看到 $f(1)-f(0)\Rightarrow拉格朗日$
$f(1)-f(0)=f'(c)(1-0)=f'(c)\Large{--}\small(0<c<1)$
2° $f''>0（二阶导数大于0）\Longrightarrow f'\uparrow 一阶导数单调递增$

$
\because 0<c<1 \
\therefore f’(0)<f’©<f’(1)
$

例题2： $\underset{x\to\infty}{lim}f&#x27;(x)=e,\underset{x\to\infty}{lim}[f(x+1)-f(x)]=e^{2a},问：a=?$

####解：
看到 $f(x+1)-f(x)\Rightarrow拉格朗日$

$由拉格朗日定理:\Large \frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}=f&#x27;(\xi)得$

$f(x+1)-f(x)=f&#x27;(\xi)\qquad(x&lt;\xi&lt;x+1)$

$\because \xi\in(x,x+1) \Rightarrow f&#x27;(x)=f&#x27;(\xi)=e.$

$又\because f(x+1)-f(x)=f&#x27;(\xi)=e^{2a}$

$\therefore e=e^{2a} \Rightarrow a=\frac{1}{2}$

类型二：只要看到三个点 $f(a),f(b),f(c)\longrightarrow 2次拉格朗日$

例题3： $f(x)\in C[a,b],在(a,b)内可导.|f&#x27;(x)|\leq M,f(x)在(a,b)内至少一个0点.求证：|f(a)|+|f(b)|=M(b-a)$

解：

1. $根据零点定理：\exists\ c \in (a,b) 使得f(c)=0$
现在有三个点了 $f(a),f(c),f(b)\rightarrow 使用两次拉格朗日定理$

2.使用两次拉格朗日
$f©-f(a)=f’(\xi_1)(c-a)\qquad (a<\xi_1<c) $
$f(b)-f©=f’(\xi_2)(b-c)\qquad (c<\xi_1<b) $
3.根据题目已知条件：$|f’(x)|\leq M $ 得

---

注解：
$\because |f&#x27;(x)| \leq M,一阶导数有上界M，且\xi_1 \subset (a,c) \subset (a,b)$
$\therefore \xi_1可以直接代入上式|f&#x27;(\xi_1)|\leq M$
根据拉格朗日中值定理： $f(c)-f(a)=f&#x27;(\xi_1)(c-a)$
$\because f(c)=0,\qquad |f&#x27;(\xi_1)|\leq M$
$\therefore 0-f(a)=\leq M(c-a)$
$|f(a)|\leq M(c-a)$
同理可得： $|f(b)|\leq M(b-c)$

---

$\therefore |f(a)|+|f(b)|=M(b-a)$

例题4: $f(x)\in C[a,b],(a,b)内二阶可导,存在L:y=f(x)连接A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线，交L于C(c,f(c))(a&lt;c&lt;b)\\证：\exists\ \xi\in(a,b) 使f&#x27;&#x27;(\xi)=0$

解：

1. 3个点已经有了，直接使用两次拉格朗日

$\large \exists\ \xi_1\in(a,c), \xi_2\in(c,b)$

$\Large f&#x27;(\xi_1)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a},f&#x27;(\xi_2)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}$

注解：
$因为f&#x27;(\xi_1)和f&#x27;(\xi_2)都是代表斜率，并且它们是同一条直线，所以f&#x27;(\xi_1)和f&#x27;(\xi_2)是相等的$

$\because f&#x27;(\xi_1)=f&#x27;(\xi_2)$

$\therefore \exists\ \xi\in(\xi_1,\xi_2) \subset(a,b) 使得f&#x27;&#x27;(\xi)=0$