Mathematical preliminaries（数学预备知识）
一、Sets（集合）
当分析算法时，我们认为它的输入是从某个特定范围（如整数集合）取出的一个集合。形式的说，可以认为算法是一个函数，它是一个受约束的关系，它映射每一个可能的输入到一个特定的输出。这样，集合和函数都处于算法分析的核心中。
集合：可用来指任何一批对象，它们成为集合的成员或元素。
有限/无限集合：如果对于某个常数n>=0，一个集合包含n个元素，则称它为有限的，否则是无限的。
可数/不可数集合：如果一个无限集合的元素能被第一个元素、第二个元素列举出来，就称这个无限集合是可数的，否则称为不可数的。整数集合可数，实数集合不可数。整数集合可数，实数集合不可数。
基数：如果A是一个有限集，那么A的基数是指A中元素的个数，表示成|A|。
成员（元素）：如果x是A的成员，我们用x∈A表示，否则 x∉A。
真子集：子集是包括本身的元素的集合，真子集是除本身的元素的集合。 子集：集合A范围大于或等于集合B，B是A的子集；真子集：集合A范围比B大，B是A的真子集 。
幂集：集合A的幂集是A的所有子集的集合，记为P(A),如果 |A|=n, 那么 |P(A)|=2^n。
有序n元组：(a1,a2,…,an)是一个有序集，其中a1 是它的第一个元素, a2 是它的第二个元素…, an 是它的第n个元素。作为特列，二元组称为有序对。
笛卡尔积：令A和B是两个集合，A和B的笛卡尔积是所有有序对(a,b) 的集合，这里a∈A ，b∈B，笛卡尔积记为AXB。用集合符号表示：A x B = {(a,b)| a∈A and b∈B}.
更一般的, A1,A2,…,An 的笛卡尔积定义为：
A1![]()
x A2 x ... x An = {(a1, a2,......,an) | ai ∈ Ai, 1 <= i <= n}.
二、relations(关系)
偏序集：设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和可传递的，则称R为A上的偏序关系，简称偏序，通常记作≦。一个集合A与A上的偏序关系R一起叫作偏序集，记作<A,R>或<A, ≦>。其中（自反性）对任一，则x≦x；（反对称性）如果x≦y,且y≦x,则x=y；（传递性）如果x≦y,且y≦c ,则x≦c。
关系：设A和B是两个非空集，一个从A到B的二元关系，或简单的说A到B的关系R是有序对 (a,b)的集合，这里a∈A，b∈B, 就是 R ⊆ A x B。如果 A=B, 则称R是集合A上的关系。如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空，且它的元素都是有序对；（2）集合是空集 ；则称该集合为一个二元关系，记作R。二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果∈R，可记作xRy。
设R是在集合A上的关系：
自反/反自反：如果对所有的a∈A ，有(a,a)∈R ，则称R是自反的；如果对所有的a∈A，有(a,a)∉R ，则称R是反自反的；
对对称/非对称/反对称：如果 (a,b) ∈R 蕴含着(b,a)∈R ，则称R是为对称的；如果 (a,b) ∈R 蕴含着(b,a)∉R ，则称R是为非对称的；如果 (a,b)∈R ，(b,a) ∈R，蕴含着a=b，则称R是为反对称的；
传递：如果 (a,b) ∈R 并且 (b,c) ∈R 得出 (a,c)∈R，则称R是传递的。
等价关系：如果集合A上的关系是自反的、对称的和传递的，则称它是等价关系。
等价类：R是A上的等价关系，此情况下，R划分A成为等价类C1,C2,…,Ck ，这样等价类中的任意两个元素有R关系。也就是对于任意Ci,1<=i<=k，如果x∈Ci 且y∈Ci，则 (x,y)∈R。另一方面，如果 x∈Ci 且y∈Cj ，i≠j，那么 (x,y)∉R。
三、functions（函数）
单射：指将不同的变量映射到不同的值的函数。
满射：对于值域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。
双射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。
四、Proof methods（证明方法）
反例证明法用于证明一个假设的命题是错误的，它通常用来证明一个命题在很多情况下是正确的，但是并不永远正确。通常我们用一个反例来证明某个命题是不正确的。
五、Logarithms （对数）
六、Floor and ceiling functions（底函数和顶函数）
七、Factorial and binomial coefficients （阶乘和二项式系数）
八、The pigeonhole principle(巢鸽原理)
九、Summations（和式）
Mathematical tools（数学工具）
Recurrence relations（递推关系）
初等函数
线性代数
全排列：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。公式：全排列数f(n)=n!(定义0!=1)
原码、反码和补码
在计算机中，用补码进行数值的计算，正数的原码和反码以及补码是相同的，负数的反码为原码除符号位的其余位取反，补码为反码加1。