向量运算
5.1 线性代数与几何
数学中专门研究向量的分支称作线性代数。
5.2 符号约定
变量是代表未知量的占位符。本书用不同的字体来区分不同的变量：
- 标量，用斜体的小谢罗马或者希腊字母表示，如a、b、θ。
- 向量，用小写黑粗体字母表示，如a、b、u。
- 矩阵，用大写黑粗体字母表示，如A、B、R。
5.3 零向量
任何集合，都存在加性单位元x，对集合中任意元素y，满足y+x=y。
n维向量集合的加性单位元就是n维“零向量”。(如[0 0 0 0 ···· 0])
零向量是唯一一个没有方向的向量。
5.4 负向量
对于任意集合，元素x的加性逆元为-x，其与x相加等于加性单位元。简单的说就是x+(-x) = 0。
公式：
几何解释：向量变负，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量。(向量的大小和方向才是最重要的)
5.5 向量大小(长度或模)
向量的大小常被称作向量的长度或模。
公式：
几何解释：对于任意直角三角形，斜边长度的平方等于直角边长度的平方和。
5.6 标量与向量的乘法
公式：
几何解释：
5.7 标准化向量
单位向量就是大小为1的向量，单位向量经常被称作标准化向量或更简单地称为“法线”。
公式：
几何解释：下图的圆是一个单位圆。
5.8 向量的加法和减法
公式(注意：向量不能与标量或维度不同的向量相加减，并且加法满足交换律，但是减法不满足交换律。永远有a+b=b+a，但a-b=-(b-a)，仅当a=b时，a-b=b-a)：
几何解释(三角形法则)：
一个点到另一个点的向量，相减和三角形法则(箭头指向被减向量)：
5.9 距离公式
距离公式，该公式用来计算两点之间的距离。
在3D情况中的公式：
5.10 向量点乘
运算法则：
几何解释：
具体公式：
如果不需要θ的确切值而只需要a和b夹角的类型：
书上的一开始没看懂，后来搜索了一下——向量的平行分量的投影
最后，垂直方向的分量 = 向量v-向量u’。
5.11 向量叉乘
向量的叉乘，表示第3点没看明白，二维向量的H为何如此？还请大神不腻赐教！！
叉乘的应用：创建垂直于平面、三角形或多边形的向量。
5.12 线性代数公式
abs表示绝对值，mod表示模，sqrt表示开根号。
| 公式 | 解释 |
|---|---|
| a+b=b+a | 向量加法的交换律 |
| a-b=a+(-b) | 向量减法的定义 |
| (a+b)+c | a+(b+c) |
| s(ta)=(st)a | 标量乘法的结合律 |
| k(a+b)=ka+kb | 标量乘法对向量加法的分配律 |
| mod(ka)=abs(k)*mod(a) | 向量乘以标量相当于标量的绝对值为因子缩放向量 |
| mod(a)>=0 | 向量的大小非负 |
| mod(a)^2+mod(b)^2=mod(a+b)^2 | 勾股定理 |
| mod(a)+mod(b)>=mod(a+b) | 向量加法的三角形法则(三角形两边之和大于或等于第三边) |
| a·b=b·a | 点乘的交换律 |
| mod(a)=sqrt(a*a) | 用点乘定义向量大小 |
| k(a·b)=(ka)·b=a·(kb) | 标量乘法对点乘的结合律 |
| a·(b+c)=a·b+a·c | 点乘对向量加减法的分配律 |
| axa=0 | 任意向量与自身的叉乘等于零向量 |
| axb=-(bxa) | 叉乘逆交换律 |
| axb=(-a)x(-b) | 叉乘的操作数同时变负得到相同的结果 |
| k(axb)=(ka)xb=ax(kb) | 标量乘法对叉乘的结合律 |
| ax(b+c)=axb+axc | 叉乘对向量加法的分配律 |
| a·(axb)=0 | 向量与另一个向量叉乘再点乘该向量本身等于零 |