1.方向导数
讨论函数
在一点
沿某一方向的变化率问题（即方向导数）.
定义 设函数在点
的某一邻域
内有定义.自点引射线
.设
轴正向到射线的转角为
（逆时针方向：
0；顺时针方向：
0），并设＇(+△,
+△)为上的另一点且＇∈.我们考虑函数的增量
(+△,+△)－与、＇两点间的距离
的比值.当＇沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方向的方向导数，记作
，即
(1)
从定义可知，当函数在点的偏导数x、y存在时，函数在点沿着轴正向
=
，轴正向
=
的方向导数存在且其值依次为x、y，函数在点沿轴负向
=
，轴负向
=
的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.
关于方向导数的存在及计算，我们有下面的定理.
定理 如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有
(2)
其中为轴到方向的转角.
二、 梯度
1.梯度的定义
与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.
定义 设函数在平面区域
内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定出一个向量
这向量称为函数
=在点的梯度，记作
，即
=
如果设
是与方向同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知
这里，(＾，e)表示向量与
的夹角.由此可以看出，就是梯度在射线上的投影，当方向与梯度的方向一致时，有
(＾，) 
1，
从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数在这点增长最快的方向.因此，我们可以得到如下结论:
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.
由梯度的定义可知，梯度的模为
当
不为零时，那末轴到梯度的转角的正切为
我们知道，一般说来二元函数在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线的方程为
这条曲线在
面上的投影是一条平面曲线
（图8―10），它在平面直角坐标系中的方程为
对于曲线上的一切点，已给函数的函数值都是
，所以我们称平面曲线为函数的等高线.
由于等高线
上任一点处的法线的斜率为
,
所以梯度 
为等高线上点处的法向量，因此我们可得到梯度与等高线的下述关系：函数
在点的梯度的方向与过点的等高线在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线（图8―10），而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向.