梯度下降（导数、方向导数 and 梯度）

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• 引入

  在机器学习与深度学习中，对损失函数最小化时经常使用的算法就是梯度下降。当然还有很多优化算法，本文先对梯度下降与反向传播进行介绍。

• 斜率、导数 and 梯度

  在介绍梯度下降之前，首先来明确梯度的概念，以及它与斜率、导数之间的区别。

  1. 斜率、导数

     斜率我们从小学就开始接触，对于一元方程 $y=kx+b$ 来讲，斜率就是方程图像与 x 轴夹角的正切值，也等于导数值，且各点导数值相等。

     $k=\tanθ=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{\triangle y}{\triangle x}$

     导数是微积分中的重要基础概念，它体现了函数图像在各点变化的快慢程度，也就是在各点切线的斜率（实际上是在某点附近的斜率近似）。

     $f'(x)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{\triangle y}{\triangle x}$

     斜率与导数都是有方向的，当大于 0 时，表示函数值沿 x 轴正方向是增加的；当大于 0 时，表示函数值沿 x 轴正方向是减小的。

  2. 偏导数

     偏导数与导数的本质是一致的，都是当自变量的变化量趋于 0 时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限。直观地说，偏导数也就是函数在某一点上沿 对应坐标轴正方向 的的变化率。区别在于导数面向的是一元函数，偏导数面向的是多元函数。

     假设有函数 $f(x_1,x_2)$，则其对于 $x_1,x_2$ 偏导数为：

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     $\frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1,x_2)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x_1+\triangle x，x_2)}{\triangle x}$

     $\frac{\partial}{\partial x_x}f(x_1,x_2)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x_1，x_2+\triangle x)}{\triangle x}$

  3. 方向导数

     偏导数是关于各坐标轴的导数，而对于多元函数上的一个点来讲，它可以有无数个偏导数，并不是只有沿着坐标轴的有限个方向。就像一个人站在一个球场的中心，除了沿着球场的宽与长的两个方向可以走以外，周身 360° 都是可以面冲的方向，那么对于这无数个方向来讲的导数，就称为方向导数。
     
     （中间红色点为出发点，蓝色为各种可以选择的方向。向上与向右的为沿着坐标轴 x，y 的方向。）

     如果说偏导数是函数在各坐标轴方向上的导数，那么方向导数就是函数在任意方向上的导数，是所有偏导数的集合（例如：沿 x 方向走 2 步，y 方向走 5 步，此时最终走的方向就是由 （0,0）点 指向 （2， 5）的向量做表示的方向，可以被各偏导数的线性线性表示）。

     具体的，方向导数的表达式为： $D_{f(x_1,x_2)}=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1}\cosθ+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}\sinθ$

  4. 梯度

     有了以上的铺垫，那么梯度就很好理解了。

     $\bullet$ 梯度的提出只为回答一个问题： 函数在变量空间的某一点处，沿着哪一个方向有最大的变化率？

     $\bullet$ 梯度定义如为：函数在某一点的梯度是这样一个 向量，它的方向是在所有方向导数中，最大的方向导数的方向，它的模为方向导数的最大值。

     $\bullet$ 也可以这么理解：梯度即函数在某一点最大的方向导数，沿梯度方向，函数具有最大的变化率。

     那么为什么梯度是方向导数中最大的呢？

     因为 $D_{f(x_1,x_2)}=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1}\cosθ+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}\sinθ$

     我们可以另 $A=<\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1},\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}>$， $I=<\cosθ,\sinθ>$

     则方向导数可表示为两个向量的乘积： $D_{f(x_1,x_2)}=A·I=|A|·|I|·\cosα$

     为使 $D_{f(x_1,x_2)}$ 最大，那么 $A$ 与 $I$ 两个向量应平行。其中 $I$ 一直在变， $A$ 当点 $x_1,x_2$ 确定的时候就已经确定了，所以 $A$ 就代表了当前能使 $D_{f(x_1,x_2)}$ 最大的向量，所以我们将 $A$ 称为梯度。

     且值得注意的是，此时恰好 $A=<\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1},\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}>$，那么求梯度就相当于对各变量求偏导。

• 梯度下降

  既然我们知道梯度是所有方向导数中最大的方向导数，具有最大的变化率，那么我们如果沿着梯度方向走，就可以最快到达函数的最大值。

  而在损失函数优化的过程中，我们希望取得函数的最小值，那么自然就是沿着梯度的负方向走。

  既然梯度是偏导数的集合： $grad(x_0,x_1,...,x_n)=<\frac{\partial f(x_0,x_1,...,x_n)}{\partial x_0},\frac{\partial f(x_0,x_1,...,x_n)}{\partial x_1},...,\frac{\partial f(x_0,x_1,...,x_n)}{\partial x_n}>$

  参考向量运算法则，我们在每个变量轴上减小对应变量值即可：

  $x_1:=x_1-α\frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1,x_2,...,x_n)$

  $x_2:=x_2-α\frac{\partial}{\partial x_2}f(x_1,x_2,...,x_n)$
  …
  …
  …
  $x_n:=x_n-α\frac{\partial}{\partial x_n}f(x_1,x_2,...,x_n)$

  ---

  例：假设有损失函数 $L(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^3$，学习速率 $α=0.1$

  那么为使 $L(x_1,x_2)$ 得到最小值计算梯度：

  $\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}=2x_1，\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}=3x_2^2$

  假设初始参数值： $x_1=1,x_2=3$，损失函数初始值： $L(x_1,x_2)=28$

  那么使用梯度下降更新

  $x_1:=1-0.1*2*1\Longrightarrow x_1=0.8$

  $x_2:=3-0.1*3*9\Longrightarrow x_2=0.3$

  $L(x_1,x_2)=0.8^2+0.3^3=0.667$

  以上完成了一次梯度下降，循环进行，可将损失函数值快速降到最低点 0.

• 反向传播

  反向传播与梯度下降类似，都是求梯度，并沿着负梯度方向更新参数。不同点是反向传播应用的场景是神经网络，此时需要的是 链式求导。

  这篇文章讲的非常详细，反向传播，收藏记录。