岭回归，Lasso——变量选择技术

本文内容主要基于炼数成金机器学习课程，并且LAR部分参考了文章Lasso算法学习。

解决多重共线性和变量选择的两种方法——岭回归&Lasso。

1 多元线性回归的最小二乘解

Q(β)是残差的平方和的向量化表示，求偏导后得到的解为最小二乘估计； 6.22式中矩阵的-1表示的是广义求逆（矩阵只有n*n才能求逆，广义求逆可以针对所有的矩阵）。

多元线性回归的几何意义：求最小的y-β1X1-β2X2……其实就是求向量y到平面β1X1+β2X2……的最短距离（垂直距离）。

出现以下两种情况时影响求解：

2 岭回归

加入了一个扰动kI。

3.41的最后一项称为惩罚函数，它和3.42描述的问题是一样的。

岭回归的几何意义：

RSS表示的是残差平方和。约束项βi的平方和≤t在集合中表示为一个圆柱（二维情况时），它与残差的交点就是（β1, β2）。如下图所示：

画在一个切面图上：

岭回归性质：

（最小二乘法是无偏估计）

（岭回归比最小二乘法更能接近真值，虽然它平均上有偏差）

岭迹图可以用于判断多重共线性。

3 LASSO

（左上为岭回归，右下为LASSO）

（左为LASSO，右为岭回归）

岭估计系数通常不会为0——椭圆不断扩大，会和圆相切交一点（即为岭估计系数）。这一点在圆周上的位置通常不会取到0（椭圆碰到坐标轴上的圆周上的点的概率很低）。

对比岭回归，LASSO的约束条件用的是绝对值，在几何上解释为一个菱形。随着椭圆增大，椭圆与菱形突出的顶点相交的概率很大（即回归系数等于0）。

（弹性网目前处理的效果最好）

4 LASSO的计算方法

最小角回归算法

这里LSE指的是Least Squares Error。

算法过程：

在介绍LAR之前，先要说明一下有关相关系数的知识补：

        r表示X，Y的相关性，r越高，X，Y就越相关，若X，Y是二维向量，就说明X，Y两个向量越接近（可以被互相表示）

通常情况下通过以下取值范围判断变量的。

相关系数     相关强度：

0.8-1.0     极强相关   

0.6-0.8     强相关                

0.4-0.6     中等程度相关                

0.2-0.4     弱相关              

0.0-0.2     极弱相关或无相关

 

如果这里我们假设Xi，Yi与，计算的结果为二维单位向量，再反观r的计算公式：

 

该手稿转自http://f.dataguru.cn/thread-448966-1-1.html（炼数成金），可以发现r最终就是X，Y标准化后的夹角余弦值。

所以夹角越小，cosθ就越大，越接近1，即表示相关系数越大。（也可以解释相关系数的取值范围[-1,1]）

 

解释完相关系数，就让我们正式进入LAR的学习。

1）r表示的是向量Y和Xi之间的残差向量

2）找到和Y向量夹角最小的向量Xi，记最初夹角为θ0（图中即角1）。Y与Xi的局部最小二乘解（即为Y到Xi的距离，图中的垂直虚线）。从原点出发，沿着Xi，向这个局部最小二乘解移动。随着移动，残差向量r会趋于图中的垂直虚线；最初的夹角1也渐渐变为夹角2，并不断趋于90°；Xi与r之间的相关系数不断减小，趋于0。

3）在这个变化的过程中，总有某一时刻，另一个变量Xj与r之间的相关系数，与Xi与r之间的相关系数一样大。这个时候我们就把Xj加入。Xj加入后，前进的方向要进行修正（不在沿着Xi了），修正为Xi与Xj夹角的角平分线方向（图中酒红色线，需先将Xj平移才能得到）。

4）重复3步骤，直到所有X分量都被包含。最终找到残差向量r与所有X之间相关系数都为0的点。

解释图：