#数论#洛谷 3951 JZOJ 5473 小凯的疑惑

题目大意

用两种面值互质的金币支付商品，面值分别是p、q，问在不找零的情况下最贵的商品的价格是多少？

---

分析

用一个方程$px+qy=n(gcd(p，q)=1)$，n最大且取不到正整数解。
先说答案是$n=pq-p-q$，但是怎么证明？
用反证法，证明$px+qy\neq pq-p-q$，设$px+qy=pq-p-q$
首先代入原来的方程得到$px+p+qy+q=pq$，也就是$p(x+1)+q(y+1)=pq$
因为gcd(p,q)=1且p|q(y+1)所以p|y+1，同样的道理因为gcd(p,q)=1且q|p(x+1)所以q|x+1
可以设pi=y+1，qj=x+1可得pqj+qpi=pq，所以j+i=1
因为x>0，y>0所以x+1>1，y+1>1,即qj>1,pi>1，因为p，q均为正整数，所以j和i也是正整数，所以j+i必然不少于2，与j+i=1矛盾，所以px+qy=pq-p-q

---

代码

#include <cstdio>
using namespace std;
long long a,b;
int main(){
    freopen("math.in","r",stdin);
    freopen("math.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    return !printf("%lld",a*b-a-b);
}