欧几里德算法 (辗转相除法)
ll gcd(ll a,ll b)
{
if(b) return gcd(b,a%b);
return a;
}
衍生:扩展欧几里德
原理 : 定义 ax+by=gcd(a,b)*k 一定会有解
所以公式变形为 ax+by=d gcd(a,b)|d d能整除gcd(a,b)
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
ll g=ex_gcd(b,a%b,x,y),t;
t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return g;
}
实际应用 : 已知a,b求一组解满足ax+by=gcd(a,b);
求x于y的所有解 x=x0+(b/d)*t; y=y0-(a/d)*t;
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
ll g=ex_gcd(b,a%b,x,y),t;
t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return g;
}
int main()
{
ll a,b,x,y,d;
scanf("%lld%lld",&a,&b);
d=ex_gcd(a,b,x,y);
printf("a*(%lld) + b*(%lld)= %lld\n",x,y,d);
}