欧几里德和扩展欧几里德算法

欧几里德算法：
用途： 得到两个数的最大公约数
公式： $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
证明： $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

1. 证明 $a,b$的公约数一定是 $b,a\%b$的公约数：
   因为 $a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b$，这里设 $c=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$
   对于 $a,b$的任意公约数 $d$，有 $d|a,d|b$，必然有 $d|(ax+by)$
   所以 $d|b,d|(a-c\times b)$必然成立，即 $a,b$的公约数一定是 $b,a\%b$的公约数
2. 证明 $b,a\%b$的约数数一定是 $a,b$的公约数：
   因为 $a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b$，这里设 $c=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$
   对于 $b,a-c\times b$的任意公约数 $d$，有 $d|b,d|(a-c\times b)$，
   所以必然有 $d|(a-c\times b + c\times b)=d|a,d|b$，即 $b,a\%b$的公约数一定是 $a,b$的公约数

所以 $a,b$的公约数集合与 $b,a\%b$的公约数集合一致，所以 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
代码：

int gcd(int a, int b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

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扩展欧几里德算法：
定义： 对于 $a$和 $b$，一定存在 $ax+by=gcd(a,b)$
代码：

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return ;
	}
	exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
}

得到的 $x=x_0,y=y_0$

通解： $x=x_0+k\times \frac{b}{gcd(a,b)},y=y_0-k\times \frac{a}{gcd(a,b)}$
通解证明：
设 $d = gcd(a,b)$
$ax_0+by_0=d$
$ax+by=a(x_0+k\times \frac{b}{d})+b(y_0-k\times \frac{a}{d})=ax_0+by_0+\frac{kab}{d}-\frac{kab}{d}$
$=ax_0+by_0=d$

证明代码中的部分： $y = y - a / b \times x$
证明：
由 $exgcd(b,a\%b,y,x)$得到：
$by+(a\%b)x=d$
即 $by+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)x=d$
即 $ax+b(y-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor x)=d$
那么得到的就是 $x$不变， $y=y-a/b\times x$