算法入门-扩展欧几里德算法

我们先来了解一下什么是欧几里德算法。

欧几里德算法又称辗转相除法，它最常用于计算两整数a，b的最大公约数gcd(a,b)(greatest common divisor,简写为gcd)

由上图可知，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，采取递归的形式辗转得到最大公约数gcd(a,b),这是欧几里德算法所做的事；

而扩展欧几德求的是的一组解。

以下为推导过程：

当递归结束时，gcd(a,b)=a; 代入得

即当时，求得一组解x=1,y=0;

那么当时,即还在递归过程时,设,由上图可知，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

所以

由递归过程可知，我们知道了上一层递归的，那么我们只要知道a%b，那么就能得到

由此可知，，代入上式得,

当递归层级更多时，也能推导得到x，y的解

代码实现如下：

int e_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int ret=gcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;   //记录上一层递归的x值 
	x=y;     
	y=t-(a/b)*y;//上一层递归的y也通过关系式进行新的赋值 
	return ret; 
}