所谓的扩展欧几里得算法就是用来求解方程：ax+by=gcd(a,b)的算法由辗转相除法可知gcd(a,b)=gcd(b,a%b).所以有
ax1+by1=gcd(a,b) (方程一)
bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)（方程二）;
由欧几里得算法gcd(a,b) =gcd(b,a%b) 得到，ax1+by1 = bx2+(a%b)y2，
即 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 —> ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)
在根据多项式恒等定理（把a,b看成变量），x1=y2; y1=x2-a/b*y2;
第二个式子变形可得到：ay1+b(x1-(a/b)×y1)=gcd(a,b)故可以的得到：x=y1，y=(x1-(a/b)×y1)。对于式子 ax+by=gcd(a,b)
而且当b=0时，gcd(a,b)=a, ax = a , 则x=1，y=0;（这里我还是推荐不把gcd(a,0)理解成最大公约数，而是一个计算机求出来的值）
（表面上看，就是已知方程一的一组解，可以得到方程二的一组解，已知方程二的一组解，就可以得到方程一的一组解，但是实际情况是，不可能先知道方程一的解（x1,y1）。）上述思想是递归定义的，不断地利用gcd(a,b) =gcd(b,a%b)，到b=0（y的系数为0）时，由(1)的解，根据解之间的关系，最终可以得到方程ax+by =gcd(a, b)的解。
代码：
写法1
这里推荐这种写法 配合式子方便理解
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
int x2=x,y2=y;
x=y2;
y=x2-(a/b)*y2;
return gcd;
} 写法2
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);// x,y交换了位置
y=y-(a/b)*x;
return gcd;
}配合一道题理解一下
一、题目描述
在平面上有一个两端无限延伸的数组如下图所示，0为起点，1是终点，现在有四种走法，向正方向走a步，向负方向走a步，向正方向走b步，向负方向走b步。在任给两个数a,b问能否从起点走到终点。
二、样例
输入：a=4，b=11
输入：Yes（a+a+a-b）
三、解题报告
该题实际要求的是，满足ax+by=1的整数解x,y。当gcd(a,b)!=1时是无解的，因为，在ax+by=1中a,b,x,y,1，都是整数，假设a,b的最大公倍数为c，即c=gcd(a,b),则方程可以化解为：(a/c)x+(b/c)y=1/c,令a1=a/c,b1=b/c 则有a1x+b1y=1/c,其中a1,b1,x,y都是整数如果1/c不是整数则方程无解，所有方程有整数解的条件是gcd(a,b)=c=1。
四、扩展欧几里得算法
所谓的扩展欧几里得算法就是用来求解方程：ax+by=gcd(a,b)的算法。由辗转相除法可知gcd(a,b)=gcd(b,a%b).所以有ax+by=gcd(a,b) 和 bx2+(a%b)y2=gcd(a,b).第二个式子变形可得到：ay1+b(x1-(a/b)×y1)=gcd(a,b)，故可以的得到：x=y1，y=(x1-(a/b)×y1)。而且当b=0时，gcd(a,b)=a,故可以得到:1*a+0*b=0,即x=1，y=0.
本题代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int&y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);//交换x与y位置
y=y-(a/b)*x;
return d;
}
int main()
{
int a,b,c;
int x,y;
scanf("%d%d",&a,&b);//输入的一个点
if(a<=b)//大的放前
c=exgcd(a,b,x,y);
else
{
c=exgcd(b,a,x,y);
int z=x;
x=y;
y=z;
}
if(c==1)
{
printf("Yes(%d*%d",x,a);
if(y>0)
printf("+");
printf("%d*%d)\n",y,b);
}
else
printf("No\n");
return 0;
}