39-二叉树的性质总结

1. 性质1

性质1：非空二叉树上叶子节点数等于双分支节点数加1。

1. 假设二叉树上叶子节点数为 $n_0$ ，单分支节点数为 $n_1$ ，双分支节点数为 $n_2$ ，则总的节点数 $n = n_0 + n_1 + n_2$

我们仔细观察上图就能发现，二叉树中，叶子节点总共有4个（D，E，F，H），单分支节点数1个（G），双分支节点数总共3个（A，B，C）。因此我们可以得出二叉树中总的节点数为4 + 1 + 3 = 8。

2. 在一棵二叉树中总的分支数（即度数）等于单分支节点数加上双分支节点数的2倍。即 $总的分支数 = n_1 + 2n_2$ 。我们可以根据第一点推出第二点的：二叉树总的分支数 = 1 + 2 x 3 = 7。

3. 由于二叉树中除根节点以外，每个节点都有唯一的一个分支指向它，因此二叉树中有：总的分支数 = 总结点数 - 1，即 $总的分支数 = n_0 + n_1 + n_2 - 1$

因此再结合第二点可以得出： $n_0 + n_1 + n_2 - 1 = n_1 + 2n_2$

消项后： $n_0 = n_2 - 1$

2. 性质2

性质2：非空二叉树上第i层上至多有 $2^{i - 1}$ 个节点（其中i ≥ 1）。

关于性质2，大家可以仔细观察一下上图。
在第一层中只有根节点A，套用上面的公式得出 $2^{1 - 1} = 2^0 = 1$

在第二层中有B和C节点，继续套用上面的公式得出 $2^{2 - 1} = 2^1 = 2$

在第三层有D，E，F，G节点，根据上面的公式得出 $2^{3 - 1} = 2^2 = 4$

在第四层中有H ，….. ，O节点，根据上面的公式计算出总共有8个节点。

如果有i层的话，那么通过数据归纳法可知，二叉树的第i层上至多有2 i - 1个节点。

3. 性质3

性质3：高度为h的二叉树至多有 $2^h - 1$ 个节点，（其中h ≥ 1）。

通常，树的层次就是树的高度，或称为树的深度。

在只有一层的二叉树来说，根据上面的公式得出 $2^1 - 1 = 1$ ，这棵二叉树只有1个节点。

有二层的二叉树，根据上面的公式得出 $2^2 - 1 = 3$ ，这棵二叉树有3个节点

有三层的二叉树，根据上面的公式得出 $2^3 - 1 = 7$ ，这棵二叉树有7个节点

有四层的二叉树，根据上面的公式得出 $2^4 - 1 = 15$ ，这棵二叉树有15个节点

对于有h层的二叉树，通过数学归纳法可以得出，此二叉树至多有 $2^h - 1$ 个节点。

另外，当一棵二叉树高度为h，且有 $2^h - 1$ 个节点，那么这棵二叉树则又称为满二叉树，如上图中的二叉树就是一个满二叉树。

4. 性质4

性质4：对完全二叉树中编号为i的节点（1≤i≤n，n≥1，n为节点数）有：

1. 若 $i ≤ [n/2]$ ，即 $2i ≤ n$ ，则编号为i的节点为分支节点，否则为叶子节点。

假设二叉树的总结点数n为12，对于编号为4的节点来说，满足 $i ≤ [n/2]$ ，所以编号为4的节点是一个分支节点。对于编号为6的节点来说，也满足 $i ≤ [n/2]$ ，因此编号为6的节点也是一个分支节点；而对于编号为7的节点来说，并不满足 $i ≤ [n/2]$ ，因此编号为7的节点是一个叶子节点。

2.若n为奇数，则每个分支节点都既有左孩子节点，也有右孩子节点。

比如在上图中的完全二叉树中在只有11个节点（n为奇数）的情况下，每个分支节点既有左孩子节点，也有右孩子节点。

若n为偶数，则编号最大的分支节点只有左孩子节点，没有右孩子节点，其余分支节点都有左、右孩子节点。

再比如上图中完全二叉树中有12个节点（n为偶数），编号最大的分支节点为F节点只有一个左孩子节点（L节点）。而其他的分支节点（A，B，C，D，E）都有左孩子，右孩子节点。

3. 若编号为i的节点有左孩子节点，则左孩子节点的编号为 $2i$ 。比如对于编号为2的节点B来说，B节点的左孩子是D节点，而D节点的编号正好是4，即 $2i$ 。

若编号为i的节点有右孩子节点，则右孩子节点的编号为 $(2i+1)$ 。比如对于编号为5的节点E来说，E节点的右孩子是K节点，而K节点的编号正好是11，即 $（2i + 1）$ 。

4. 除树根节点外,若一个节点的编号为i，则它的双亲节点的编号为 $[i/2]$ （ $[x]$ 表示不大于x的最大整数）。

对于根节点是没有双亲节点的，这里我们来看一下上图中的编号为9的节点，它的双亲节点就是 $[9/2] = 4$ 。对于编号为8的节点来说，它的双亲节点是 $[8 / 2] = 4$ 。

当i为偶数时，其双亲节点的编号为 $(i/2)$ ，它是双亲节点的左孩子节点

当i为奇数时，其双亲节点的编号为 $（i - 1）/\;2$ ，它是双亲节点的右孩子节点