抽象代数学习笔记（15）环

定义：设集合$R$上有两种二元运算，一个叫加法，记为$+$;一个叫乘法，记为$*$，且$(R,+)$是个交换群；乘法$*$在$R$上是结合的；对任意$a,b,c\in R$，都有$a*(b+c)=a*b+a*c,(b+c)*a=b*a+c*a$，则说$(R,+,*)$是个结合环，简单地，说它是个环。

例如：整数集，有理数集，复数集在相应的运算下分别是个环。

一般而言，要证明某个代数系统是环时，要仔细考虑其上算律，尤其是分配律的证明，当满足了一侧的分配律时，另一侧的分配律未必是同理可证。

定义：设$(R,+,*)$是个环，如果$R$的乘法有单位元$e$，则说$R$是个有单位元环或者有1环。对于环$R$的元素$a$，若有$b\neq 0$以及$c\neq 0$使得$ab=0$且$ca=0$，则说$a$是$R$的一个零因子。如果$R$不含非零的零因子，则称$R$为无零因子环；如果$R$上的乘法满足交换律，则说$R$是个交换环。有1的交换的无零因子环称为整环。

整数环，实数环都是整环，但是，偶数环不是，它的乘法没有单位元。

上述定义提到了“非零的零元素”，“非零”中的“零”指的是$(R,+)$中的零元素，它与$R$中任意元素$a$相乘得到结果为$0$。证明如下：
$0*a=(0+0)*a$
$0*a=0*a+0*a$
$0=0*a$
需要指出的是，零元素不是零因子。

例如，所有2阶方阵在矩阵加法和矩阵乘法下构成环零元素记为0。对于非零矩阵

$$m=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right]$$
存在矩阵

$$a=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right], b=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right]$$
使得 $ma=bm=0$，显然 $m$不是一个单位，并且是一个零因子。

设$R$是个有单位元$1$的环，$R$的元素$a$称为$R$的一个单位，如果有$b\in R$使$ab=ba=1$.

例如，整数环中元素1是一个单位。实数环所有非零元素都是单位。