抽象代数学习笔记（14）商群

上一次提到“商”这个字眼，还是在讲商集的时候。我们将商集看做是以等价关系对集合的一个划分。现在我们更进一步，提出商群的概念。

如果 $N$ 是不变子群，那么利用 $N$ 可以导出　$G$ 上的一个等价关系，　$a~b$ 当且仅当　$a^{-1}b\in N$ ，也就是 $a,b$　同属于　$N$ 的一个左陪集。

（证明：
首先$a^{-1}a\in N$，说明关系满足自反性；其次，因为$a^{-1}b\in N$,所以$a(a^{-1}b)a^{-1}=ba^{-1}\in N,b(a^{-1}b)b^{-1}=ba^{-1}\in N$，满足对称性；$a^{-1}b\in N,b^{-1}c\in N$，则$a^{-1}bb^{-1}c=ac^{-1}\in N$，满足传递性。
）

因为 $N$ 是不变子群，它的左陪集就是右陪集,此处简称陪集。对于 $N$ 确定的等价关系，我们可以得到 $G$ 的一个商集 $\bar G$,它的每个元素都是 $N$ 的一个陪集。现在要做的就是将任意群 $G$ 对于不变子群 $N$ 的商集定义成群，得到所谓的商群。

定理１　设 $N$ 是群 $G$ 的一个不变子群，$G/N$ 代表 $G$ 对 $N$ 的所有陪集构成的集合，规定任意 $aN,bN\in G/N$ ,对应 $G/N$ 的元素 $(a*b)N$, 则得到 $G/N$ 的一个运算，记为 $\#$，即
$aN\#bN=(a*b)N$，进一步 $(G/N,\#)$ 是个群。

要证明定理１，首先要证明 $(a*b)N$ 是由 $aN,bN$ 唯一确定的，而与陪集代表元的选择无关。

设 $a_1N=a_2N,b_1N=b_2N$，那么，必有 $u,v\in N$ 使得 $a_1=a_2u,b_1=b_2v$，从而 $a_1*b_1=a_2*(u*b_2)*v$，因为 $N$ 是 $G$ 的不变子群，而 $u*b_2\in Nb_2=b_2N$，又必有 $w\in N$，使 $u*b_2=b_2*w$，于是 $a_1*b_1=a_2*b_2*(w*v)$，其中 $w*v\in N$，也就是说 $(a_1*b_1)N=(a_2*b_2)N$。
这样就说明了无论代表元如何选取，得到的都是同一个陪集。接下来证明得到的是群即可。

定义１ $N$ 是群 $(G,*)$ 的不变子群，在商集 $G/N$ 中规定 $aN\#bN=(a*b)N; aN,bN\in G/N$，则 $(G/N,\#)$ 构成群，称之为群 $(G,*)$ 对不变子群 $N$ 的商群。

这里需要注意两件事：首先，证明运算 $\#$ 的合理性是必要的；其次，商群$G/N$ 的运算 $\#$ 特指定义1中的那种运算。

• 如果$G$是个群，$N$是$G$的不变子群，那么映射$f:G\rightarrow G/N$，$f(a)=aN$，对任意$a\in G$是满同态映射，且$Ker(f)=N$。

• 同态基本定理：设$(G,*),(H,+)$都是群，$f$是$G$到$H$的满同态映射，$ker(f)=K$，那么有映射$\varphi :G/K\rightarrow H$，使得
  $\varphi (aK)=f(a),\forall aK\in G/K$，并且，$\varphi$是$G/K$到$H$的同构映射。