抽象代数基础 环论(1)

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首先一个环乘法满足半群的性质:
1.封闭
2.满足结合律
其次一个环加法满足阿贝尔群的性质:
若环乘法满足交换律,半群含幺,称其为交换环.
若交换环满足乘法消去律,称其为整环.

$\text{Example } R$是整环,找出两个函数$f,g\in I(R),f\not \equiv 0,g\not \equiv 0$但$fg \equiv 0$.
整环的性质告诉我们,整环无零因子.因此若需找出这样的函数,只有利用$f\equiv 0或g\equiv 0$的性质.因此让其中一个在环上某定义域成立即可.

整环的一个重要性质是具有可比性.可比性如下定义.
公设:
$加法律$ 两个正整数的和是正整数.
$乘法律$ 两个正整数的积是正整数.
$三分律$ 对于某一个整数$a\in 环R$,要么$a=0$,要么$a$或$-a$是正整数.
那么定义关系$a>b,b<a:=[a-b是正整数]$,$a\geqslant b,b\leqslant a:=[a>b\vee a=b]$.
通过恰当地选取整环的正元素,可能使得整环变成有序整环.

$\text{Problem }$证明在任意有序数环中$a^7=b^7\Rightarrow a=b$.
证明:注意到$a^7-b^7=(a-b)[a^6+a^4b^2+a^2b^4+b^6+ab(a^4+a^2b^2+b^4)]$
若$a或b=0$,则由等式的传递性$a=b=0$.
若$a,b\neq 0$,则显然中括号中的每一项都是正的,于是$a-b=0$,即$a=b$.

$\text{Problem }$在整环$Z[\sqrt{2}]$中定义正元素,使得不等关系上的加法、乘法、三分律成立.
$a>0:=[m>\lfloor -\sqrt{2} n\rfloor]$
这个函数很显然有$a=m+n\sqrt{2}>\lfloor -\sqrt{2} n\rfloor+n\sqrt{2}\geqslant n\sqrt{2}-1+1+n\sqrt{2}=0$
则:于是加法律成立,乘法律成立…
三分律显然成立.
感觉这道题很勉强…但是想不出其他的办法了…

$\lfloor -(a+b)\rfloor \leqslant \lfloor -2\sqrt{ab}\rfloor$？想了一下,明显是错的…
$\lfloor a\rfloor b+a\lfloor b\rfloor\geqslant 0$?很明显也是错的…

这本书然后就是一堆基础数论,…,跳跳跳

$\text{Problem }$设$V(a)$是一切非零整数$a$由定义的非负值整数,满足
$\begin{aligned}(i)&V(a+b)\geqslant min\{V(a),V(b)\};\\(ii)&V(ab)=V(a)+V(b).\end{aligned}$
证明$V(a)\equiv 0或V(a)=cV_{p}(a),V_p(a)$表示$a$的素因子$p$所具有的指数.
证明:注意到若$p$是素数则存在函数$e(p)=tp^{V(p)},t\in R$是乘性函数.这道题就做完了.

关系是一类特殊的二元映射,由$R:A\times A\to A$给出.其中$A\times A$是笛卡儿($\text{Cartersian}$)积.关于等价关系的定义,大家可以自行翻书,_(:3」∠)_很简单的定义了.
$\text{Proposition 循环律 }$如果$aRb,bRc$那么$cRa$.
证明:关系$R$是等价的,当且仅当$R$是自反的和循环的.
自反律已经成立.对称律:$aRa,aRb$那么$bRa$,于是对称律成立；$aRb,bRc$那么$cRa$,根据对称律,所以$aRc$,于是传递律成立.所以$R$是等价关系.
反之由对称律和传递律很容易得出循环律.

$\text{Problem }$为什么证明:”$\text{根据对称律}aRb,\text{根据传递律}aRb,bRa,\text{所以关系}R\text{满足自反律}aRa$”是错的？
因为:可能不存在$b\in A$使得$aRb$.

可以思考一下上面关于循环律证明等价关系避免了这一谬误.

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同构是一类特殊的映射(双射),不懂的同学可以去翻一翻群论.

$\text{Problem }$证明$Z[\sqrt{2}]$和$Z[\sqrt{3}]$不可能同构(这里的同构还有一种性质$f(a+b)=f(a)+f(b)$).
证明:
设有同构$\phi且\phi(\sqrt{2})=x'\in Z[\sqrt{3}]$,$\phi(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})=x'^2=2\phi(1)=2.$这在$Z[\sqrt{3}]$中无解,于是$Z[\sqrt{2}]$与$Z[\sqrt{3}]$不可能同构.

$\text{Problem }$证明任意整环$R,且|R|=3$必然同构于$Z_3$.
证明:
显然$\{0',1'\}\subset R$,设$R=\{0',1',x'\},Z_3={0,1,2}$.
于是令同构$\phi(x')=2$,有$\phi(0'\cdot x')=0,\phi(1'\cdot x')=2$,$\phi(0'+ x')=2$那么$\phi(1'+x')=1+2=0？$,显然$x'+1'=0'$,于是依然是成立的.
所以$R与Z_3之间存在同构\phi$,两者是同构的.