上一篇博客介绍了几种重要的群上的可逆变换,由于篇幅限制,没有写完,剩余的内容将在这一篇中了结。
设
G 是个群,a 是G 的一个固定元素,通过a 可以导出G 到G 的映射γ ,
γa(x)=axa−1
那么,γa 是G 到G 的同构映射,称为内自同构。
这个命题的证明和左乘变换的证明是类似的。首先证明这是一个可逆变换,
所以
在抽象代数中,内自同构一般总是和不变子群联系在一起,这里先说明一下,不变子群是个非常重要的概念。
设
G 是个群,H 是G 的一个子群,如果H 在每个内自同构映射下都不变。即对于任意的a∈G,h∈H ,都有
aha−1∈H
则说H 是G 的不变子群或者正规子群。
容易看出,
交换群的任意子群也是不变的,因为
另外,如果
如果一个群只有平凡的不变子群,那么,这个群被称作单群。