抽象代数学习笔记（13）群的同态

抽象代数学习笔记（13）群的同态

前面在证明一个映射是否为同构映射的时候，都是先证明映射是一个双射，再证明它是否为同构映射。一个映射为双射是它为同构映射的必要条件。一般来说，条件越多，满足所有条件的可能性就越小，所以人们往往会推而广之，减少条件，使某个概念满足更加普遍的情况（就像矩阵的逆和它的左逆，右逆）。对于同构来说，就有一个更加一般性的概念 — 同态。同态并不要求映射是一个双射，只需要是个满射即可。直观的说，同态映射的像会比原来的群要“小”一些。

设 $(G,+),(H,* )$ 是群,那么 $G$ 到 $H$ 的映射 $f$ 称为 $G$ 到 $H$ 的同态映射。 对任意的 $a,b\in G$ ，都有

$$f(a+b)=f(a)* f(b)$$

与同构映射一样，同态映射有一些重要特征：
* $f(e_G)=e_H$

这个命题的证明与同构中那个命题的证明方法类似。
* 设 $f$ 是 $(G,+)$ 到 $(H,* )$ 的同态映射，则对于 $G$ 中任意元素 $g$ ， $f(g)^{-1}=f(g^{-1})$

由于 $f(g)* f(g^{-1})=f(g+g^{-1})=f(e_G)=e_H$，且 $f(g)* f(g)^{-1}=e_H$ ，因此 $f(g)^{-1}=f(g^{-1})$ 。

• $f$ 是 $G$ 到 $H$ 的同态映射，那么 $H$ 中恒等元 $e_H$ 的原像
  $K=f^{-1}(e_H)=\{g\in G|f(g)=e_H\}$ 是 $G$ 的不变子群。$K$ 称为映射 $f$ 的核，记为 $Ker(f)$ 。

注意一点， $f^{-1}$ 并非逆映射，因为同态映射不需要满足双射，所以可能不存在逆映射，仅仅只是表示原像，下面出现的 $f^{-1}$ 也是一样。

上面这个命题中，证明 $K$ 是 $G$ 的一个子群并不难，这里主要说明为何 $K$ 是 $G$ 的不变子群。设 $k$ 是 $K$ 中的任意元素， $g$ 是 $G$ 中的任意元素，那么 $f(g+k+g^{-1})=f(g)* f(k)* f(g^{-1})=f(g)* e_H* f(g^{-1})=e_H$ ，这说明对于任意的 $k\in K,g\in G,g+k+g^{-1}\in K$，因此 $K$ 是不变子群。

• 两个同态映射的合成还是同态映射。

对于同态映射 $f:G->H,g:H->K$

$$gf(a+b)=g(f(a)* f(b))=gf(a)\#gf(b)$$
这说明映射 $gf$ 还是一个同态映射。
* 设 $f$ 是 $(G,+)$ 到 $(H,* )$ 的同态映射， $g$ 是 $(H,* )$ 到 $(K,-)$ 的同态映射。那么，有 $Ker(gf)=f^{-1}(Ker(g))$
* 设 $f$ 是 $(G,+)$ 到 $(H,* )$ 的同态映射， $g$ 是 $(H,* )$ 到 $(K,-)$ 的同态映射，那么 $Img(gf)=g(Img(f))$
* 设 $f$ 是 $(G,+)$ 到 $(H,* )$ 的同态映射，如果 $A$ 是 $G$ 的子群，则 $f(A)$ 是 $H$ 的子群，如果 $B$ 是 $H$ 的子群，则 $f(B)$ 是 $G$ 的子群。

设 $f$ 是 $(G,+)$ 到 $(H,* )$ 的同态映射,而且 $f$ 是满的，那么称 $(H,* )$ 是 $(G,+)$ 的一个同态像。

• 设 $f$ 是 $(G,+)$ 到 $(H,* )$ 的同态映射， $A$ 是 $G$ 的不变子群， $B$ 是 $H$ 的不变子群，那么 $f(A)$ 是 $H$ 的不变子群， $f^{-1}(B)$ 是 $G$ 的不变子群。
• 设 $f$ 是 $(G,+)$ 到 $(H,* )$ 的同态映射，那么 $f$ 是单射的充要条件是 $Ker(f)=\{e_G\}$
• $(G,+)$ 到 $(H,* )$ 的满同态映射 $f$ 是同构映射，当且仅当 $Ker(f)=\{e_H\}$