抽象代数学习笔记（16）子环

定义：设$(R,+,*)$是个环，$S$是$R$的一个非空子集。如果$+$和$*$也是$S$的运算，且$(S,+,*)$也是个环，则说$(S,+,*)$是$(R,+,*)$是的一个子环。在所指运算不混淆时，简称$S$是$R$的一个子环。

在介绍环的时候，提到的偶数环是有理数环的子环。
$(R,+,*)$是一个环，判断$R$的非空子集$S$是否是$R$的子环，一般有下面几种方法：
方法一：
1. 对任意$a,b\in S$，有$a+b\in S$；
2. 对任意$a\in S$，有$-a\in S$；
3. 对任意$a,b\in S$，有$a*b\in S$。

方法二：
1. $(S,+)$是$(R,+)$的子群；
2. 对任意$a,b\in S$，有$a*b\in S$。

方法三：
1. 对任意$a,b\in S$，有$a-b\in S$；
2. 对任意$a,b\in S$，有$a*b\in S$。

上面三个方法可行性的证明不难（前面关于群的几篇博文有类似命题，证明思路是一样的），这几个方法可以用来证明下面的命题。

设$S_a,a\in I$都是$R$的子环，那么他们的交集$\cap_{a\in I}S_a$也是$R$的子环。

首先，由环以及子环的定义可知$S_a$非空；$S_a$作为子环，$0\in S_a,a\in I$，所以，$0\in \cap_{a\in I}S_a$，从而$S$非空。进一步的，对任意的$a,b\in S$，应有$a,b\in S_\alpha,\alpha\in I$，而$S_\alpha$是$R$的子环，从而对每个$\alpha\in I$都有$a-b\in S_\alpha$，根据$S$的定义，必有$a-b\in S$。同理，对任意的$a,b\in S$，应有$a,b\in S_\alpha,\alpha\in I$，而$S_\alpha$是$R$的子环，从而对每个$\alpha\in I$都有$ab\in S_\alpha$。综上，$S$是$R$的子环。

上述命题的证明中，因为$S_a$的特殊性，$S$必然是非空的。现在我们对$S_a$做一些限制，并提出生成子环的概念。

$R$是个环，$a\in R$，做$R$的子环族
$A=\{S$是$R$的子环$|a\in S\}$
我们把子环$\cap_{S\in A}S$称为$R$的由元素$a$生成的子环，记为$<a>$。

我们也可以用一个子集来生成一个子环：$R$是个环，$T$是$R$的非空子集，做$R$的子环族
$A=\{S$是$R$的子环$|T\subseteq S\}$
我们把子环$\cap_{S\in A}S$称为由$T$生成的子环，记为$<T>$。